計量テンソル (一般相対論)

計量テンソルの概要

一般相対性理論において、計量テンソルは時空の性質を理解するための不可欠な手段です。計量テンソルは、時空の局所的な曲がり具合や重力の影響を表現し、一般には記号 gμν で示されます。これは、重力場の作用を数学的に記述するための枠組みを提供します。

定義と表現

計量テンソルは、空間における異なる地点の間の距離や角度を計算する際に使用され、時間にも依存するため、特殊相対性理論におけるものとは異なった形式を持ちます。特に、計量テンソルは次のように表記されます。

$$
g_{
u
u } = egin{pmatrix} g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03} \\ g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13} \\ g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23} \\ g_{30} & g_{31} & g_{32} & g_{33} \\ \\ \\ \\end{pmatrix}
$$

ここで、各成分 gμν は、時間および空間の軸に対する曲率を示しています。特に、重力が働く空間では単純に0と1だけでは表現できないため、成分が一般化され、テンソル形式となっています。

対称性と入れ替え

計量テンソルの特性の一つは、その対称性です。具体的には、gμν は μ と ν の入れ替えが可能であり、例えば g01 と g10 が等しいため、これらの成分は無視しても問題ありません。この性質によって、計量テンソルはより簡潔な表記ができ、計算にも便利です。

添え字の操作

計量テンソルは、さまざまなテンソルやベクトルに対して、添え字の上げ下げを行う役割も担っています。例えば、あるベクトル Aμ に対して、計量テンソルを使用すると次のように表されます。
$$
A^
u = g^{
u
u} A_
u
$$
このように、計量テンソルは時空内における物理的対象の記述に非常に重要です。

性質と応用

最後に、計量テンソルの微分に関連する重要な性質について触れておきます。計量テンソルを二階微分すると、リーマン曲率テンソルが得られます。これにより、時空の曲率や重力の性質をより深く洞察することが可能になります。リーマン曲率テンソルは、空間の幾何的な特性を理解するための強力なツールとして広く活用されています。

参考文献

• - ランダウ、リフシッツ「場の古典論」『理論物理学教程』東京図書株式会社、1978年10月30日。
• - 深川, 俊太郎『アインシュタイン方程式を読んだら「宇宙」が見えた』ブルーバックス、2021年5月20日。
• - Chow, Tai L. (2008). Gravity, Black Holes, and the Very Early Universe: An Introduction to General Relativity and Cosmology. Springer.
• - Gutfreund, Hanoch; Renn, Jürgen (2015). The Road to Relativity: The History and Meaning of Einstein's "The Foundation of General Relativity".
• - Lichnerowicz, André (1950-2). Éléments de calcul tensoriel.
• - Taillet, Richard; Villain, Loïc; Febvre, Pascal (2018-01-23). Dictionnaire de physique.

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