テンソル

テンソル：スカラーからベクトル、行列へ、そしてその先へ

テンソルは、スカラー量（質量や温度など）、ベクトル量（力や速度など）、行列（線形変換など）といった線形的な量や幾何学的概念を一般化した数学的対象です。これらは、基底を選択することで多次元の配列として表現できますが、テンソル自身は特定の座標系に依存しません。

テンソルの特徴的な性質として階数があります。これは、テンソルを表す配列の添字の組の数で、階数0のテンソルはスカラー、階数1のテンソルはベクトル、階数2のテンソルは行列に対応します。階数3以上のテンソルは、より複雑な多次元的な量を表します。

テンソルの定義：複数のアプローチ

テンソルの定義と扱いは、大きく分けて古典的なアプローチと現代的なアプローチがあります。

古典的なアプローチでは、テンソルは多次元配列として定義され、階数0のスカラーから階数1のベクトル、階数2の行列へと自然に一般化されたものと見なされます。このアプローチでは、テンソルの成分が配列の要素の値によって直接的に与えられます。さらに、テンソル場として一般化することで、テンソルの成分に関数やその微分が取り扱われるようになります。

ただし、このアプローチでは、座標系の変換に伴うテンソルの成分の変化を明確に記述する必要があります。ベクトルと同様に、テンソルは座標系の選択によらず、本質的には同じ物理量を表していることを保証する必要があります。そのため、共変変換と反変変換といった概念が用いられます。

現代的なアプローチでは、テンソルはまず抽象的に、多重線形性の概念に基づいた数学的対象として定義されます。多重線形写像、すなわち複数のベクトル空間の要素を入力として、スカラー値を出力する関数として定義されます。この定義から、テンソルの様々な性質が自然に導かれます。このアプローチでは、基底を選択するまでは座標系を指定せずに議論を進めることができ、より本質的な理解につながります。例えば、共変ベクトルは一次微分形式として、反変ベクトルは双対空間の元として定義できます。このアプローチは、古典的な成分表示に基づく定義をより高度な視点から置き換えることを目指しています。

数学的定義：多重線形写像とテンソル積

テンソルを多重線形写像として定義する方法では、(p, q)-型テンソルTは、p個の双対ベクトル空間V とq個のベクトル空間Vの要素を入力として、実数Rを出力する関数として定義されます。この関数は各引数に関して線形であることを満たします。

ベクトル空間Vの基底{ej}とその双対基底{εi}を用いると、テンソルTの成分T^i1...ip_j1...jqが得られます。基底の取り替えによって成分の値は変化しますが、多重線形性により、これらの成分はテンソルの変換則を満たします。

また、テンソル積を用いた定義では、(p, q)-型テンソルは、p個のVとq個のVのテンソル積空間の元として定義されます。テンソル積の普遍性により、この定義と多重線形写像による定義は同等であることが示されます。

テンソルの応用と重要性

テンソルは物理学、工学、数学の様々な分野で重要な役割を果たします。

工学: 応力テンソル、ひずみテンソル、弾性率テンソルなどは、材料力学や連続体力学において不可欠な概念です。これらは物体の変形や内部応力を記述するために用いられます。
医学画像: 拡散テンソル画像(DTI)は、脳などの臓器内の水分子の拡散方向を計測することで、神経線維の走行を可視化するために用いられます。
* 物理学: 一般相対性理論では、時空の幾何構造を記述するためにリーマン曲率テンソルが用いられます。エネルギー運動量テンソルは物質のエネルギーと運動量を表し、アインシュタイン方程式において重要な役割を果たします。

テンソルの理論は、座標変換によってテンソルの成分がどのように変化するかを記述することで、座標系に依存しない物理量の記述を可能にします。

歴史

テンソルという用語は、1846年にハミルトンによって導入されましたが、現代的な意味で用いられるようになったのは1899年のフォークトからです。リッチ＝クルバストロとレヴィ＝チヴィタによる研究によってテンソル解析が発展し、アインシュタインによる一般相対性理論の定式化によって広く知られるようになりました。

一般化

テンソルの概念は、無限次元空間や異なるベクトル空間のテンソル積など、様々な方向へ一般化することができます。無限次元テンソルの例としては、ヒルベルト空間におけるテンソル積や、バナッハ空間上の多重線形写像などがあります。

まとめ

テンソルは、スカラー、ベクトル、行列を包含する、より一般的な数学的対象です。その抽象的な定義と、座標系に依存しない性質は、物理学や工学における様々な現象を記述するのに非常に強力なツールとなります。その応用範囲は広く、今後も様々な分野で重要な役割を果たしていくと期待されます。

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