論理包含

論理包含とは

論理包含（ろんりほうがん、英: implication）とは、2つの命題PとQがあるとき、「PならばQ」という関係を表す論理演算の一つです。これは、Pが偽であるか、Qが真である場合に真となる命題です。論理包含は、条件文と密接な関係にあり、しばしば同じものとして扱われますが、論理的帰結や伴意とは異なる概念です。

論理包含の表記

命題PとQに対する論理包含は、記号「P ⇒ Q」または「P → Q」で表されます。これは、「PならばQ」、「PはQを含意する」、「PはQの十分条件である」などと読むことができます。また、「P ⇒ Q」の形の命題は仮言命題と呼ばれ、Pは前件、Qは後件と呼ばれます。

論理包含の記号の歴史

論理包含を表す記号は、歴史的にさまざまなものが用いられてきました。ペアノは、1889年に「AならばB」を「A Ɔ B」と表記しました。ラッセルは、ペアノにならい「A ⊃ B」と表現しました。ゲンツェンもラッセルに従い「A ⊃ B」としました。ハイティングは当初「A ⊃ B」を使用していましたが、後に「A → B」という右向き矢印を使うようになりました。

論理包含の性質

古典論理において、論理包含は否定（¬）と論理和（∨）で表現できます。具体的には以下の同値関係が成り立ちます。

math
(P → Q) ⇔ (¬P ∨ Q)


また、古典論理ではド・モルガンの法則により、以下のように変形することもできます。

math
(P → Q) ⇔ ¬(P ∧ ¬Q)


さらに、以下の性質が成り立ちます。

同語反復: `P → P`
`P → (P ∨ Q)`
対偶の法則: `(P → Q) → (¬Q → ¬P)`
反対称律 (同値): `(P → Q) ∧ (Q → P) → (P ⇔ Q)`
* 推移律 (三段論法): `(P → Q) ∧ (Q → R) → (P → R)`

真理値表

論理包含 `P → Q` の真理値表は以下の通りです。


この真理値表から、Pが偽の場合にはQの真偽に関わらず `P → Q` は真となることがわかります。

論理包含と条件文

論理包含と条件文は、日常的には同じように使われることが多いですが、厳密には異なる場合があります。論理包含は断言的な関係を示すのに対し、条件文は予想的な関係を示すことがあります。そのため、`P ⇒ Q` は「P は Q に包含される」、`P → Q` は「もし P ならば Q が成り立つ」と区別して表現することがあります。ただし、`⇒` は伴意の記号としても使用されるため、注意が必要です。

論理包含の例

数学的な例

例えば、「x が1000以上ならば、x は100以上である」という命題は、x の値が1000以上である場合に、x が100以上であることを意味します。この例では、「1000以上の数の集合」は「100以上の数の集合」に包含されており、この包含関係が論理包含の由来となっています。また、xが1000未満の場合でも命題全体としては真です。

日常的な例

「もしこの仕事が失敗したら、辞表を出す」という言葉を考えてみましょう。この言葉が嘘になるのは、仕事が失敗したにもかかわらず辞表を出さない場合のみです。仕事が成功した場合には、辞表を出しても出さなくても約束を破ったことにはなりません。これは、論理包含が「Pが真でQが偽である場合のみ偽となる」という定義に合致しています。

日常会話との乖離

日常会話における「ならば」は、時間的な依存関係や因果関係を含意することがあります。例えば、「薬を飲まなければ病気が治らない」の対偶は「病気が治るならば薬を飲む」となりますが、この2つは意味が異なります。また、日常会話では、偽と分かっている命題を前件にすることは通常ありません。論理包含の定義では、前件が偽の場合には後件の真偽に関わらず全体が真となるため、日常会話での感覚とは異なる場合があります。このように、論理における「ならば」と日常会話の「ならば」は、似て非なるものであると理解することが重要です。論理包含は、「Pでない、またはQである」という命題の短い言い換えに過ぎません。現代論理学では、日常会話での「ならば」を扱うための論理システムについても研究が進められています。

まとめ

論理包含は、命題間の関係を表す重要な論理演算です。その定義、性質、真理値表、および条件文との関係を理解することで、論理的な思考を深めることができるでしょう。また、日常会話での「ならば」との違いを認識することで、より正確な議論を行うことができるようになります。

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