論理的帰結

論理的帰結（ろんりてききけつ）

論理的帰結とは、複数の文や命題の集まり（これらを「前提」と呼びます）から、別の特定の文や命題（これを「結論」と呼びます）が、論理的に避けがたく導き出される関係を指します。これは、「～だから、当然～である」といった推論の繋がりを形式的に捉えたもので、論理学における最も根幹的な概念の一つです。

例えば、「すべてのカエルは緑色である」と「カーミットはカエルである」という二つの前提が与えられた場合、「カーミットは緑色である」という結論は、これらの前提から論理的に帰結します。記号では、前提の集合Γと結論Aの関係を `Γ ⊨ A` と表現することがあります。

このような論理的帰結の妥当性は、前提自体が真であるかどうか、また推論に必要な前提がすべて揃っているかどうか（完全性）に依存します。もし「すべてのカエルが緑色である」という前提が偽であれば、たとえ推論の形式が正しくても、結論の真偽は保証されません。論理的帰結、そしてそこから派生する演繹による推論は、私たちの認識の方法論として重要であり、普遍的な法則や因果関係に関する仮説を構築し、検証する上で中心的な役割を果たします。

論理的帰結の形式的な定義や関係性は、モデル理論と呼ばれる意味論的なアプローチや、証明論と呼ばれる構文論的なアプローチ、あるいはその両方によって研究されています。また、論理的帰結は、前提の集合から結論の集合への関数として捉えることや、二つの命題集合間の関係として記述することも可能です。

論理的帰結の記述方法

論理的帰結の性質をどのように捉えるかによって、いくつかの記述方法があります。

様相的記述

様相的記述では、論理的帰結を必然性や可能性といった様相（modalities）を用いて説明します。具体的には、前提の集合Γに含まれるすべての命題が真であると仮定した場合、結論Aが真であることは「必然である」と考えます。言い換えれば、前提Γがすべて真であるにもかかわらず、結論Aが偽となるような状況は「あり得ない」と捉えます。この考え方は、可能世界論という哲学的な概念と結びついており、前提がすべて真であるようなあらゆる「可能世界」において、結論もまた真であると解釈できます。

先のカーミットの例で言えば、「すべてのカエルが緑色である」と「カーミットはカエルである」が真でありながら、「カーミットが緑色でない」という状況を想像できるような可能世界は存在しない、ということです。

形式的記述

形式的記述では、推論の妥当性がその「論理形式」に由来すると考えます。論理的帰結 `Γ ⊨ A` は、ΓからAを導く推論と同じ論理形式を持ついかなる推論においても、前提がすべて真であるにもかかわらず結論が偽となることはない、と説明されます。これは、推論における「論理的でない語句」（固有名詞や一般的な名詞、形容詞など）を別の語句で置き換えても、前提が真であれば結論も真であるという関係が保たれることを意味します。

例えば、「すべてのFはGである」「aはFである」ならば「aはGである」という形式を持つ推論は、その内容（F, G, aが具体的に何を指すか）によらず妥当です。先述のカーミットの例もこの形式に従います。「カエル」をF、「緑色」をG、「カーミット」をaとすれば、この形式に当てはまります。この形式を持つ他の例として、「すべての鳥には羽毛がある」「ペンギンは鳥である」ならば「ペンギンには羽毛がある」などが挙げられます。前提が真で結論が偽となるような例を見つけることはできません。これは、この推論の妥当性がその抽象的な論理形式によって保証されているためです。

様相的形式的記述

これは、様相的記述と形式的記述を組み合わせた考え方です。論理的帰結とは、ある推論と同じ論理形式を持ついかなる推論においても、前提がすべて真であり、かつ結論が偽であるような状況が「あり得ない」と捉えるものです。論理的帰結に対する私たちの直観的な理解は、しばしばこの様相的側面と形式的側面の両方を含んでいます。

根拠に基づく記述

これまでの記述は、前提の「真理」が結論に「保持される」という観点、すなわち「真理保持的」な性質に焦点を当てています。しかし、推論の良さを「正当に主張できる根拠」が結論に保持されるという観点から捉えることもできます。これは「根拠保持的」な記述と呼ばれ、正当に断言可能な前提から、正当に断言できない結論は導かれないと見なします。この考え方は、直観主義論理といった分野と関連があります。

非単調論理との関連

ここで説明した論理的帰結は、前提の集合に新たな命題を追加しても、すでに導き出された結論が覆ることはないという「単調性」を持つことが一般的です。しかし、私たちの日常的な推論や人工知能の分野では、前提が増えることで以前の結論が撤回される「非単調」な推論も存在します。

例えば、「鳥は一般的に飛ぶことができる」と「トゥイーティーは鳥である」という前提から、「トゥイーティーは飛ぶことができる」と推論することは、通常の状況では妥当に見えます。しかし、ここに「トゥイーティーはペンギンである」という前提が追加されると、ペンギンは鳥の一種でありながら通常は飛べないため、以前の結論「トゥイーティーは飛ぶことができる」はもはや妥当ではなくなる可能性があります。このような非単調な関係を扱うのが非単調論理です。

論理的帰結