遷移双極子モーメント

遷移双極子モーメントとは

遷移双極子モーメント（Transition Dipole Moment）は、量子力学において、物質のエネルギー状態間の遷移を表す重要な物理量です。このモーメントは、特定の始状態から終状態に移行する際の電気双極子の特性を示しています。通常、
遷移双極子モーメントは
t.d.m.
（transition dipole moment）と略され、位置演算子を介して量子系の状態を記述する列挙的な方法として表現されます。このモーメントの大きさや方向は、量子系が外部の電磁波（光など）とどのように相互作用するかを規定する重要な要素です。

基本的な理解

遷移双極子モーメントは、エネルギー状態の位相因子を含む複素ベクトルであり、系の電荷分布と外部の電場との相互作用に大きく依存します。これにより、遷移双極子モーメントはその大きさの平方が、遷移の強度や許可されるかどうかを決定するので、特に重要です。

定義

遷移双極子モーメントは、量子状態のエネルギー固有状態に対する双極子モーメント演算子の非対角項として定義され、次の式で表されます。

$$
(t.d.m.)_{a o b} = { ext{(t.d.m)}} ⟨ψ_{a}|(q extbf{r})|ψ_{b}⟩ = q \\ ext{∫} ψ_{a}^{*}( extbf{r}) extbf{r} ψ_{b}( extbf{r}) d^{3}r
$$

ここで、$q$は粒子の電荷、$r$はその位置を示します。この式により、遷移双極子モーメントは粒子の電荷に位置演算子を掛けた値の観測として理解されます。

単一粒子と多粒子系

単一の荷電粒子の状態が変化する場合、その遷移双極子モーメントは上記の式に基づき計算できます。一方で、複数の荷電粒子が関与する場合は、各粒子の電荷と位置を考慮した演算が重要になり、次のように書かれます。

$$
(t.d.m.)_{a o b} = ⟨ψ_{a}|(q_{1} extbf{r}_{1}+q_{2} extbf{r}_{2}+ ext{...})|ψ_{b}⟩
$$

ここで、各粒子の影響を加味することで、系全体の遷移双極子モーメントを正しく求めることができます。

運動量との関連性

運動量演算子との関係性も示され、特に質量$ m $の非相対論的粒子に対しては以下のように表現されます。

$$
⟨ψ_{a}| extbf{r}|ψ_{b}⟩ = { i ext{ℏ} \\ (E_{b}-E_{a})m } ⟨ψ_{a}| extbf{p}|ψ_{b}⟩
$$

この式は特に古典的な物理学との連携を示し、量子系の理解を深めます。

古典的双極子との比較

遷移双極子の概念は古典的な双極子と類似した面を持ちますが、決して同一ではありません。古典的双極子は2つの逆符号の電荷を持つ点電荷の組み合わせであり、この場合の双極子モーメントは次のように記述されます。

$$
extbf{p} = q extbf{r}
$$

電場の影響下でのトルクの大きさが、古典的な物理法則にもとづいて変化することが示されます。対して、量子的な遷移双極子モーメントは物質のエネルギー状態の変化と、それに伴う電荷分布の変化に依存するため、複雑な理解が求められます。

応用

遷移双極子モーメントは電気双極子相互作用に基づく遷移が可能かどうかを判断する手段として利用されます。これにより、特定の遷移が許可されるかどうかを定量化し、物理現象を理解する上での鍵となります。例えば、特定の電子がある状態から別の状態へ移行する際、その遷移の強さや可能性を評価することができます。この概念は様々な分野において広く応用され、特に化学反応や物理的プロセスにおける重要な役割を果たします。

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