部分ゲーム完全均衡

部分ゲーム完全均衡

部分ゲーム完全均衡（英: subgame perfect equilibrium）または部分ゲーム完全ナッシュ均衡（英: subgame perfect Nash equilibrium）は、ナッシュ均衡の考え方を拡張した、多期間にわたるゲームにおける重要な均衡概念です。

定義

ある戦略ベクトルが部分ゲーム完全均衡であるとは、その戦略が元のゲームのすべての部分ゲームにおいてもナッシュ均衡点となっている状態を指します。つまり、ゲーム全体だけでなく、ゲームを構成するすべての部分的なゲームにおいても、各プレイヤーが最適な戦略を選択しているということです。

平易に説明すると、プレイヤーがゲーム全体の一部である小さなゲーム（部分ゲーム）をプレイする際、その部分ゲームにおけるプレイヤーの行動が、その部分ゲームのナッシュ均衡で表される場合、プレイヤーの行動は元のゲームにおける「部分ゲーム完全均衡」となります。

求め方

部分ゲーム完全均衡を求める一般的な方法は、後退帰納法です。これは、ゲームの最終段階から逆向きに分析していく手法です。

1. 最終局面の分析: まず、ゲームの最後の行動に着目し、その行動を行うプレイヤーの効用を最大化する行動を決定します。
2. 一つ前の局面の分析: 次に、最後のプレイヤーが最適な行動をとると仮定した上で、最後から二番目の行動を行うプレイヤーの効用を最大化する行動を選択します。
3. 繰り返し: この過程をゲームの最初の手番まで繰り返します。
4. 均衡戦略の特定: こうして残った戦略の組み合わせが、部分ゲーム完全均衡となります。

ただし、ゲームが完全情報ゲームでない場合や、完備情報ゲームでない場合には、後退帰納法は適用できません。なぜなら、後退帰納法の過程で、要素数が2以上の情報集合に遭遇してしまう可能性があるからです。また、後退帰納法は、有限の手数でゲームが終了する場合にのみ有効です。

例

最後通牒ゲームは、ナッシュ均衡点よりも少ない部分ゲーム完全均衡点を与えるゲームの代表例です。

部分ゲーム完全ナッシュ均衡の存在

ラインハルト・ゼルテンは、元のゲームにおいて選択可能なすべての手が、それ自体で部分ゲームを構成できるようなゲームは、必ず部分ゲーム完全ナッシュ均衡を持つことを証明しました（混合戦略を含む場合）。

部分ゲーム完全ナッシュ均衡は通常、ゲームの最終結果から逆向きに考えることで決定されます。これは、ゲームの木構造上で「信頼できない」手を含む枝をノードから削除することに相当します。この種のゲームの例としては、三目並べが挙げられます。後退帰納法の最も広範な応用例は、金融における初期のオプション取引の数値的な近似です。

脅威の信憑性

「信じられる」という用語が示す興味深い点は、部分ゲームに到達する過程の不可逆性を無視すると、部分ゲーム完全戦略よりも優れた戦略が存在するにもかかわらず、その戦略を実行するという脅しが、脅しをかける当事者自身にとって不利益となり、結果としてその戦略が実行されない可能性があるということです。

例えば、チキンゲームにおいて、一方のプレイヤーが先に自分の車のハンドルを捨てるという選択肢がある場合、そのプレイヤーはハンドルを捨てるべきです。なぜなら、ハンドルを捨てることによって、合理的な相手は同じようにハンドルを捨てて相打ちになることを避けようとするからです。ハンドルを捨てた方が必ず勝ちます。相手は必ず曲がります。相手の「直進する」という脅しは「信じられる」ものではありません。実際、一方のプレイヤーがハンドルを捨てたとき、相手の合理的な選択肢は、「ハンドルを捨てる」か「ハンドルをつけたままにする」かの二択から、「ハンドルをつけたままにする」という選択肢に絞られ、部分ゲーム完全ナッシュ均衡が成立するのです。

参考文献

David M. Kreps (1990). A Course in Microeconomic Theory, Princeton University Press. ISBN 9780691042640.

外部リンク

Example of Extensive Form Games with imperfect information
Java applet to find a subgame perfect Nash Equilibrium solution for an extensive form game from gametheory.net.
Simple example

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