部分分数分解

部分分数分解：有理式を単純化する技法

代数学において、部分分数分解は複雑な有理式（多項式の比）を、より扱いやすい複数の簡単な有理式の和として表現する強力な手法です。この分解によって、積分や和分などの計算が大幅に簡略化される場合があります。

部分分数分解とは？

部分分数分解とは、有理式を、分子の次数が分母の次数よりも小さい複数の有理式の和、および場合によっては多項式で表すことを指します。このとき、各々の有理式の分母は、元の有理式の分母の因数となります。重要なのは、「部分分数」という特別な式が存在するわけではないということです。単に、元の有理式をよりシンプルな表現に変換する手法です。

例：

`1/(x(x+1))` という有理式を部分分数分解すると、`1/x - 1/(x+1)` となります。これは、通分すると元の式に戻ることを確認できます。

部分分数分解の原理

部分分数分解を行うには、主に以下の3つの原理を組み合わせます。

1. 除法の原理: 分子の次数が分母の次数以上の有理式の場合、多項式による割り算を行い、商と余りを求めます。この余りは、分子の次数が分母の次数より小さくなります。

2. 互除法: 分母が多項式の積で表され、その因数が互いに素である場合、各因数を分母とする有理式の和として表現できます。この時、ベズーの等式が重要な役割を果たします。

3. 分母が冪の場合: 分母がある多項式の冪乗である場合、その冪乗を段階的に分解していきます。繰り返し除算を行うことで、分母が次数を下げていく形になります。

係数の種類による違い

係数の種類によって、部分分数分解の結果は異なります。

複素数係数: 複素数係数の有理式の場合、分母は一次式の積に分解できます。そのため、部分分数分解は、分子が定数で分母が一次式の冪乗である項の和で表されます。

実数係数: 実数係数の有理式の場合、分母は一次式と二次式の積に分解されます。そのため、部分分数分解は、分子が定数で分母が一次式の冪乗である項と、分子が高々一次式で分母が二次式の冪乗である項の和で表されます。

有理型関数への拡張

部分分数分解の考え方は、有理式だけでなく、有理型関数（正則関数の比）にも拡張できます。ただし、有理型関数の極は無限個存在する場合もあるため、部分分数分解は無限級数（級数展開）の形をとります。これを「部分分数展開」と呼ぶこともあります。

例：

`1/(sin²z)` は有理型関数であり、以下の部分分数展開を持ちます。

`1/(sin²z) = Σ_(n=-∞)^∞ 1/((z - nπ)²) `

まとめ

部分分数分解は、複雑な有理式を単純化し、計算を容易にする強力な手法です。その原理を理解し、係数の種類によって適切な分解を行うことで、様々な数学の問題解決に役立ちます。特に積分計算において、部分分数分解は必須のテクニックと言えるでしょう。この手法の習得は、数学の更なる学習に大きく貢献するでしょう。

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