配列表記

配列表記（Array Notation）

配列表記は、Jonathan Bowersにより2002年に提案された数の表記法で、特に巨大数を高効率で表現することができます。この方法は、従来のクヌースの矢印表記の拡張ですが、コンウェイのチェーン表記やその拡張に比べて、より効率的に数の大きさを改善できるため、海外の巨大数研究者の間で主流となっています。

基本的な形式

配列表記は、波括弧を用いて中に数字をコンマで区切って列挙する形式です。たとえば、次のように表現されます：

```
{ a, b, c, ... }
```

この表記法には特定の定義があり、いくつかの規則に従って数を表現します。

定義と規則

1. 1つ組の場合:

`{ a } = a`
となります。

2. 2つ組の場合:

`{ a, b } = a^b`
となります。
最後の数字が1の場合は省略可能です。例えば、

`{ a, b, c, ..., z, 1 } = { a, b, c, ..., z }`

3. 3番目の数字が1の場合も特別な規則が適用されます。ここでは、連続する1のうち右側を除くすべての1が先頭の要素に置き換わります。

この規則は数の急激な増加を可能にします。

4. 上記のいずれにも当てはまらない場合、次のような変形が行われます：

`{ a, b, c, ... } = { a, { a, b-1, c, ... }, c-1, ...}`

これにより、左から右に沿って変形が行われ、最後の数字の重要性が強調されます。

性質

3つ組の配列表記は、3つ組チェーン表記と同様の意味を持ち、クヌースの矢印表記とも関連しています。具体的には:

```
{ a, b, c } = a → b → c = a ↑^c b
```

このように、配列表記を用いることで独特な数の表現が可能になり、特定の条件下では高次の数を表現することができます。特に、配列表記での先頭の要素は3以上である必要があり、さもなければ結果が不適切になりがちです。

拡張表記の考案

配列表記には拡張が存在し、非常に大きな数の近似も可能です。さらに、急増加関数や多変数アッカーマン関数と同程度の強さを持つことが確認されています。

巨大数の近似例

いくつかの具体例として、グラハム数やコンウェイのテトラトリなどが挙げられます。

例:

• - グラハム数 ≈ {4, 65, 1, 2}
• - コンウェイのテトラトリ ≈ {27, 3, 2, 2}
• - ふぃっしゅ数バージョン1 ≈ {4, 64, 1, 1, 2}

関連項目

• - 巨大数
• - クヌースの矢印表記
• - 多変数アッカーマン関数
• - BEAF
• - バードの配列表記

このように、配列表記は巨大数を効率的かつ効果的に表現するための強力な手法です。

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