量子ホール効果

量子ホール効果：電子の量子的な振る舞い

量子ホール効果は、二次元電子系に強い磁場を加えた際に観測される特異な現象です。この効果は、半導体と絶縁体の界面や半導体のヘテロ接合構造といった、二次元電子ガスが形成される系で現れます。磁場によって電子の運動が量子化され、エネルギー準位が離散的な値に縮退し、ランダウ準位と呼ばれる状態が形成されます。

試料中に存在する不純物の影響により、ランダウ準位は有限の幅を持ちます。絶対零度近傍では、フェルミ準位以下の電子は空間的に局在するようになり、これをアンダーソン局在と呼びます。

この量子化された二次元電子系のホール伝導率σxyは、以下の式で表されます。

σxy = -n(e²/h)

ここで、nは整数、eは電子の電荷、hはプランク定数です。つまり、ホール伝導率はe²/hの整数倍となることがわかります。この現象を整数量子ホール効果と呼びます。

整数量子ホール効果：発見と応用

整数量子ホール効果は、1975年に理論的に予言され、1980年に実験的に観測されました。この発見は、クラウス・フォン・クリッツィングらによってなされ、RK = h/e²で定義されるフォン・クリッツィング定数は、電気抵抗の標準値として用いられています。プランク定数と電気素量は2019年5月以降定義定数であるため、フォン・クリッツィング定数にも不確かさがなくなり、高精度な測定が可能になりました。

整数量子ホール効果は、精密測定への応用だけでなく、トポロジカル物性研究においても重要な役割を果たしています。ホール伝導率がe²/hの整数倍となることは、電子のスピノル性や四次元スピン多様体の数学的性質と密接に関連しています。

分数量子ホール効果：電子間の相互作用

近年、試料の高品質化に伴い、より複雑な量子ホール効果が観測されるようになりました。1982年、ダニエル・ツイ、ホルスト・ルートヴィヒ・シュテルマー、アーサー・ゴサードらは、強い磁場下で冷却した二次元電子系において、ホール伝導率が

σxy = -(p/q)(e²/h)

となる新たなプラトーを発見しました。ここで、pとqは整数であり、qは3以上の奇数です。(例:1/3, 2/3, 1/5など)。この現象を分数量子ホール効果と呼びます。

分数量子ホール効果は、電子間のクーロン相互作用が重要な役割を果たしており、高品質な試料でしか観測されません。この発見により、シュテルマー、ツイ、ラフリンの3名が1998年にノーベル[[物理学賞]]を受賞しました。

数学との関わり：トポロジーとフラクタル

量子ホール効果に現れる整数は、トポロジカル量子数の一種であり、ベリー位相や第一チャーン数と深い関係があります。アベル=ハーパー=ホフスタッタモデルは、量子ホール効果の数学的理解に重要な役割を果たしており、その量子位相図は「ホフスタッターの蝶」として知られるフラクタル図形として表現されます。

整数量子ホール効果と分数量子ホール効果は、不純物ポテンシャルや局所的な系（エッジ電流など）、そしてクーロン相互作用といった様々な要因によって影響を受けています。分数量子ホール効果においては、電子が磁束量子と束縛状態を形成した複合フェルミオンとして振る舞うという説明が有力です。

量子ホール効果は、基礎物理学における重要な研究対象であり、その理解は、新たな電子デバイスの開発や、トポロジカル物質科学の発展に繋がる可能性を秘めています。

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