量子化誤差

量子化誤差：アナログからデジタルへの変換におけるノイズ

アナログ信号をデジタル信号に変換する過程では、必ず誤差が生じます。この誤差は、信号の細部を無視して離散的な値で表現することから発生し、量子化誤差（Quantization Error）または量子化歪み（Quantization Distortion）と呼ばれます。この誤差によって生じるノイズは量子化雑音（Quantization Noise）と呼ばれ、デジタル信号処理において重要な課題となります。

量子化誤差の発生メカニズム

アナログ信号は連続的な値をとりますが、デジタル信号は離散的な値（ビット）で表現されます。この変換において、アナログ信号の値を最も近いデジタル値に丸める（量子化）過程で、元の信号とデジタル信号の間にずれが生じます。このずれが量子化誤差です。量子化誤差は、量子化の解像度（ビット数）に依存します。ビット数が多いほど解像度が高くなり、誤差は小さくなります。

量子化誤差モデル

量子化誤差は、様々な物理現象において観測されます。例えば、電子工学では電子の離散的な性質、光学では光子の離散的な性質、化学では分子の離散的な性質などが、量子化誤差の発生源となります。これらの現象では、物理的な実体が量子化されるため、「量子化雑音限界」という概念も用いられます。この限界付近では、アナログとデジタルの区別が曖昧になります。

量子化雑音モデルと数式表現

量子化雑音は、電気通信やデジタル信号処理において重要なノイズ源です。このノイズは非線形で、元の信号に依存した特性を持ちます。量子化雑音を二乗平均平方根誤差として表現する式があります。

$$N_Q = \frac{\left(\frac{V_{AD}}{2^Q}\right)^2}{6 \cdot T_S \cdot R_L^2}$$

ここで、

$N_Q$：量子化雑音
$V_{AD}$：アナログ-デジタル変換回路に入力される電圧範囲
$Q$：量子化ビット数
$T_S$：標本化周期
* $R_L$：負荷抵抗

となります。この式は、量子化誤差が一様に分布している理想的なアナログ-デジタル変換回路を仮定しています。

S/N比と量子化ビット数

理想的なアナログ-デジタル変換回路におけるS/N比（信号対雑音比）は、量子化ビット数Qを用いて次のように近似できます。

$$SNR_{ADC} = 20 \log_{10}(2^Q) \approx 6.02 \cdot Q \ \mathrm{dB}$$

例えば、16ビットオーディオでは、ダイナミックレンジは約96.3dBとなります。この計算は、量子化誤差が-1/2LSBから+1/2LSBまで一様に分布し、信号の値が量子化可能な範囲に全て含まれていることを仮定しています。しかし、実際には入力信号の確率分布や量子化範囲を超える入力信号によって、この理想的なS/N比からずれが生じます。

最大強度の正弦波を入力した場合、S/N比は次のように求められます。

$$SNR_{ADC} = (1.761 + 6.02 \cdot Q) \ \mathrm{dB}$$

高解像度のアナログ-デジタル変換回路はこの式に近い特性を示しますが、低解像度の変換回路では、入力信号が量子化範囲を超える影響が大きくなり、この式からのずれが顕著になります。

まとめ

量子化誤差は、アナログからデジタルへの変換において避けられない誤差です。その大きさは量子化ビット数に依存し、ビット数を増やすことで低減できます。量子化雑音はデジタル信号処理における重要なノイズ源であり、システム設計において適切に考慮する必要があります。

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