閉測地線

閉測地線についての解説

リーマン多様体における閉測地線（へいそくちせん、英: closed geodesic）は、その多様体上で定義される測地流の一部として、特に周期的な性質を持った曲線を指します。具体的には、閉測地線はリーマン多様体
(M, g) の計量 g のもとで、リーマン多様体上の滑らかな1周期の曲線として表現できます。この閉測地線は、変分原理を通して特徴付けられます。

定義と性質

閉測地線を数学的に定義すると、まず
$
egin{aligned}
ext{閉測地線 } \\ 使用する曲線: \\\gamma: \\mathbb{R}
ightarrow M
ext{であり、$\gamma$(t)は周期pを持つとします。}
ext{その場合、}
\\ \\text{ 1の周期を持つ形に変更し再パラメータ化した } t
ightarrow \gamma(pt)
ext{が作られ、これが閉測地線の定義となります。}

ext{変分原理によって、この閉測地線はエネルギー函数}
\[E: \Lambda M \rightarrow \mathbb{R}\]
によって定義され、以下の関係が成り立ちます: \\
\[E(\gamma) = \int_0^1 g_{\gamma(t)}(\dot{\gamma}(t), \dot{\gamma}(t)) \, dt. \]

ここで、エネルギー函数の臨界点である曲線は、エネルギーが最適な状態であることを示しています。従って、すべての閉測地線は、エネルギー関数の臨界点から導かれる無限の系列を形成します。特に、もしも
$
\gamma
$ が閉測地線であれば、別の自然数
$m$
に対して、

$
\gamma^{m}(t) := \gamma(mt)
$ により定義される曲線もまた臨界点を持つことになります。

例

実際の例としては、標準の円形リーマン計量を有する単位球面
$S^{n} \subset \mathbb{R}^{n+1}$ があります。この空間におけるすべての大圏は、閉測地線の例と見なされます。このように、全測地線が閉測地線であるような多様体は、数多くの文献において詳細が述べられています。また特に、基本群にねじれを持たないコンパクト双曲曲面においては、閉測地線がその曲面上のフックス群の元に対して非自明な共役類と一対一で対応することが分かっています。

関連項目

閉測地線に興味深い関連項目としては、セルバーグ跡公式、ゾール曲面、測地線などが挙げられます。これらは、単に数学的な概念に留まらず、幾何学や力学系を理解する上で重要な役割を果たします。

参考文献

　- Besse, A.: "Manifolds all of whose geodesics are closed", Ergebisse Grenzgeb. Math., no. 93, Springer, Berlin, 1978.
　- Klingenberg, W.: "Lectures on closed geodesics", Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 230. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. x+227 pp. ISBN 3-540-08393-6

もう一度検索