測地線

測地線：曲がった空間における最短経路

測地線とは、幾何学において、曲面やより一般的なリーマン多様体上を走る曲線のうち、その曲線上にある非常に近い2点を最短距離で結ぶものを指します。平らな空間における直線の概念を、曲がった空間へと拡張したものです。この用語は、地球の形状と大きさを測る測地学に由来しており、地球上では、2点間の最短距離となる経路、すなわち大円の一部が測地線となります。測地線の中でもっとも短いものは最短測地線と呼ばれます。

測地線の概念は、数学的な空間全般に拡張されています。例えば、グラフ理論では、グラフ上の2つの頂点間の最短経路を測地線と定義します。また、一般相対性理論においては、時空という曲がった空間内を光が進む経路が測地線として記述されます。

測地線の歴史

測地線の研究は、17世紀後半に始まりました。1697年、ヨハン・ベルヌーイは曲面上の2点を最短距離で結ぶ問題を提起し、その最短曲線を測地線と名付けました。彼は、測地線上の点における接平面の法線が、その点で曲面に垂直であることを発見しました。その後、ヤコブ・ベルヌーイ（1698年）は円筒、円錐、回転面上の測地線を求め、レオンハルト・オイラー（1728年）は独自に開発した変分法を用いて、曲面上の測地線が満たす微分方程式を導出しました。

測地線と最短距離

2点間の最短距離を示す曲線は測地線となります。そのため、2点を結ぶ測地線の中で最も短いものが、その2点間の最短距離を表すと考えられます。言い換えれば、測地線とは、2点間の最短距離を求める際の候補となる曲線の集合と言えるでしょう。ただし、2点が地球の北極と南極のように対極の位置にある場合、これら2点を結ぶ最短測地線は無数に存在することに注意が必要です。球面上の測地線は閉曲線となりますが、回転楕円体面など、一般的には閉曲線とは限りません。

測地線の方程式

リーマン多様体上の測地線は、変分法を用いて導出されます。計量テンソルg_{ij}を持つリーマン多様体上の曲線x(t)について、2点x(t1)とx(t2)間の距離Sは、次の積分で表されます。

S = ∫_{t1}^{t2} √(g_{ij}(dx^i/dt)(dx^j/dt)) dt

この積分の変分δS=0となる曲線が、リーマン多様体の測地線となります。この条件は、オイラー＝ラグランジュ方程式を満たすことに等しく、最終的にはクリストッフェル記号を用いて、次の測地線の方程式が得られます。

(d²x^k/ds²) + {k i j}(dx^i/ds)(dx^j/ds) = 0

ここで、sは弧長パラメータ、{k i j}はクリストッフェル記号です。これは、測地線の満たすべき微分方程式です。平坦な空間では、この方程式は単純な直線の方程式に帰着します。しかし、この方程式は局所的な性質を表すため、必ずしも大域的な最短距離を表すとは限りません。

一般相対性理論への応用

一般相対性理論では、時空を4次元の擬リーマン多様体として記述します。この時空において、試験粒子（時空に影響を与えない仮想的な質点）や光の経路は、測地線として表現されます。つまり、自由落下する物体の軌跡は測地線で表されると考えられています。一般相対性理論において測地線は、ブラックホールの定義や特異点定理など、時空の因果構造を定義する上で非常に重要な役割を果たします。

その他

回転楕円体面上の測地線は、地球上では大圏コースに対応します。経線に沿う測地線は子午線弧と呼ばれます。測地線の概念は、幾何学のみならず、グラフ理論や一般相対性理論など、様々な分野で応用されています。

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