陰計算

陰計算（Umbral Calculus）は、数学の特定の分野、特に数列や多項式に関連する等式を扱う際に用いられる独特な手法を指します。その歴史は古く、最初は一種の記号的な操作として非公式に用いられていましたが、現代ではより厳密な理論体系として再構築されています。名称の「Umbral」はラテン語で「日影」や「陰影」を意味し、計算における「影」のような要素、すなわち形式的な操作を指していると考えられます。

初期の手法（19世紀）

陰計算の起源は、19世紀にジョン・ブリサードによって導入された記号法に遡ります。これはしばしば「ブリサードの記号法」とも呼ばれます。当時の手法は、自然数で添字付けられた数列に関する等式を扱う際に、その添字をまるで多項式の冪指数であるかのように形式的に操作することによって新たな等式を導出するというものでした。この方法は、論理的には一見奇妙に映りますが、驚くほどうまく機能し、得られた結果はより厳密な数学的方法によっても正しいことが確認されました。

この手法の典型的な例として、ベルヌーイ多項式 `B_n(x)` と通常の冪 `x^n` の間の類似性が挙げられます。通常の二項定理が

math
(y+x)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}y^{n-k}x^{k}


であるのに対し、ベルヌーイ多項式は

math
B_n(y+x) = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}


という非常によく似た展開式を持ちます。また、微分の規則も `d/dx x^n = n x^{n-1}` に対して `d/dx B_n(x) = n B_{n-1}(x)` と同様の形をしています。

陰計算では、この類似性を利用して、あたかも `B_n(x)` が `(b+x)^n` のように振る舞うと仮定し、`b^n` をベルヌーイ数 `B_n(0)` とすることで、`B_n(x) = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} b^{n-k} x^k = (b+x)^n` と形式的に記述します。この式を微分すると `B_n'(x) = n(b+x)^{n-1} = n B_{n-1}(x)` となり、正しい微分法則が得られます。ここで用いられる形式的な変数 `b` が「umbra」と呼ばれます。

和分差分学との関連

陰計算的な考え方は、和分差分学の領域にも見られます。例えば、差分方程式におけるニュートン級数（ニュートンの前進差分展開）は、テイラー展開に類似した形式を持ちます。多項式関数 `f(x)` に対し、k階前進差分を `Δ^k[f]` とすると、

math
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\Delta^kf}{k!} (x)_k


と展開できます。ここで `(x)_k = x(x-1)\cdots(x-k+1)` は下降階乗と呼ばれる特殊な関数です。このような形式的な類似性も陰計算の範囲に含まれます。

現代的な理論

1930年代から40年代にかけて、エリック・テンプル・ベルは陰計算に厳密な基礎を与えようと試みましたが、完全な成功には至りませんでした。状況が変わったのは1970年代で、ジャン・カルロ・ロタやスティーヴン・ローマンらによって、数学的に厳密な理論が構築されました。

ロタは、変数 `y` に関する多項式空間上の線型汎函数 `L` を導入しました。特に、`L(y^n)` がベルヌーイ数 `B_n` に等しいと定義することで、ベルヌーイ多項式 `B_n(x)` を `L((y+x)^n)` という形式で表現できることを示しました。これにより、添字を冪指数のように扱う操作が、線型汎函数の作用として正当化され、以前は非形式的であった操作に数学的な根拠が与えられました。

ローマンとロタは、1978年の論文で陰計算を「陰代数」の研究として特徴づけました。これは、多項式上の線型汎函数が特殊な積（陰積）を持つ代数構造を成すというものです。現代においては、陰計算は、二項型多項式列やアペル多項式列を含む「シェファー列」と呼ばれる多項式列の研究を指す言葉として用いられることが多く、これはロタが構築した特殊関数に関する一般理論の重要な部分を占めています。

応用

陰計算の方法論は、ベル数の漸化式の導出や、キュムラント（確率論や統計学で用いられる量）の組合せ論的な性質の研究など、様々な数学や関連分野に応用されています。

結論

かつては直感的で非厳密な記号操作として始まった陰計算ですが、線型汎函数や代数的な構造を用いた現代的な定式化を経て、組合せ論、特殊関数論、和分差分学などにおいて有効な理論体系となっています。

もう一度検索