階乗冪

階乗冪

階乗冪は、数学、特に離散数学の一部であり、冪乗に類似した演算です。この演算は、階乗とは異なり、因子が1ずつずれて生成されます。階乗冪は、主に上昇階乗冪（rising factorial）と下降階乗冪（falling factorial）の2種類に分類されます。これらの演算は、数理的な解析や組合せ論、特殊関数論において広く利用されています。

定義

階乗冪において、変数xは実数または複素数であり、nは自然数と定義されます。これにより、以下のような二つの演算が定義されます。

上昇階乗冪

上昇階乗冪は、xを基にして次のように表されます：

$$
(x)^{(n)} = x (x + 1) (x + 2) imes ext{...} imes (x + n - 1) = rac{ ext{P}(x+n-1)}{(x)n} = rac{x + k - 1}{ ext{P}(k=1)}
$$

これは、n項の積を示します。つまり、上昇階乗冪はxを基にした累乗的な演算と捉えられます。

下降階乗冪

下降階乗冪は、以下のように定義されます：

$$
(x)_{n} = x (x - 1) (x - 2) imes ext{...} imes (x - n + 1) = rac{x(k=1)}{P(n,k)}
$$

こちらもn項から成る積であり、基盤となるxを変数として考えると、整数係数の多項式として扱うことができます。展開の係数はスターリング数で得られる場合もあります。

記法の違い

特殊関数論でしばしば使われるポッホハマー記号では、下降階乗冪が$(x)_{n}$、上昇階乗冪が$x(n)$または$(x)^{(n)}$と記述されます。また、組合せ論では、$nPk = P(n, k)$の形で下降階乗冪を表現することができます。

数学的性質

階乗冪にはいくつかの興味深い性質が存在し、特に計算規則が適用されます。例えば、空積については、何も掛けられない場合は1と定義されるため、$x^{ ext{0}} = 1$または$x_{n} = 0$となります。

たし算と微分

上昇および下降階乗冪の微分も興味の対象で、微積分を通じた新たな見方を提供します。例えば、降りるn-乗の微分（下降階乗冪）は次のようになります。

$$
rac{d}{dx}x_{n} = x_{n}(H_{x} - H_{x-n})
$$

ここで、$H_{x}$は調和数です。また、上昇階乗冪の微分は、$ψ(x+n) - ψ(x)$で表されます。

陰計算への適用

最近では、階乗冪が陰計算とも深く関連していることが知られています。これは、数学における新しい計算方法として注目されており、多項式の形を持つ階乗冪が微分和にどのように応用されるかを示しています。

このように、階乗冪はその定義から多くの数学的な問題に応用され、さまざまな分野で利用されています。

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