階乗素数

階乗素数について

階乗素数（Factorial Prime）とは、階乗に1を加える、または減じることによって得られる素数のことです。具体的には、ある自然数nに対して、n! ± 1（n!はnの階乗）で表現されます。この特性から、階乗素数の数は非常に限られており、さらに自然数の中では合成数が連続して存在することの説明に役立ちます。

合成数の連続性

階乗素数の特徴の一つは、n! ± kという形式で得られる数が、2以上の自然数kで割り切れる場合が多いため、合成数が連続して出現するという点です。たとえば、13! - 23 = 6227020777という数の次の素数、13! + 67 = 6227020867の間には、89個の連続した自然数が全て合成数です。これにより、合成数が連続して存在する理由が明確になります。しかし、この方法では得られない長い素数間のギャップも存在し、たとえば360653と360749の間には95個の合成数が並んでいることも興味深い事実です。

階乗素数の発見

2022年1月時点で、49個の階乗素数が知られており、その中で最も大きなものは308084! + 1です。この数の十進法での桁数は驚異的な144万9771桁に達します。

n! + 1 型の階乗素数

n! + 1の形式で素数となる自然数nは、以下のように小さい順に並びます：0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, ...。ここで、3! + 1は7という素数を形作りますが、nが11を超えると急速に大きくなります。例えば、11! + 1は39916801に達します。

n! − 1 型の階乗素数

一方、n! − 1の形式で素数となる自然数nは、3, 4, 6, 7, 12などがあり、こちらもnが12を超えると急速に大きくなります。特に12! − 1は479001599、そして14! − 1は87178291199という大きな数になります。これらの数の特性が示すように、階乗素数は一様ではなく、特定の整数nに対してのみ素数として表現されます。

未解決の問題

階乗素数に関して、n! ± 1が共に素数になる自然数nは現在知られているのは3のみであり、他には未発見のままです。また、n! + 1またはn! − 1の形式の素数または合成数が無限に存在するかどうかも未解決の問題として残っています。特にn! + 1に関しては、ウィルソンの定理によって合成数が無限に存在することが示唆されています。

参考文献

以下は、階乗素数に関連する文献です。

• - Richard Guy著『Unsolved Problems in Number Theory』（3rd ed.）Springer, 2004
• - 一松信訳『数論における未解決問題集』シュプリンガー・フェアラーク・東京、1994年
• - 金光滋訳『数論「未解決問題」の事典』朝倉書店、2010年

関連項目

階乗数と素数、さらにはそれらの関連理論についても探求を続けることが重要です。

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