離散時間フーリエ変換

離散時間フーリエ変換 (DTFT) の詳細解説

離散時間フーリエ変換（DTFT: Discrete-Time Fourier Transform）は、連続時間信号を離散的にサンプリングしたデータから、その周波数成分を解析する強力なツールです。本稿では、DTFT の定義、性質、そして関連する変換との関係について詳しく解説します。

1. DTFT の定義

DTFT は、離散的な時間領域信号 x[n] (n は整数) を、連続的な周波数領域信号 X(ω) (ω は角周波数) に変換します。その定義式は次のとおりです。

X(ω) = Σ (n = -∞ to ∞) x[n] e^(-jωn)

ここで、j は虚数単位です。この式は、時間領域信号 x[n] を、様々な周波数成分 e^(-jωn) の重ね合わせとして表現していることを示しています。各周波数成分の大きさと位相は、X(ω) の値によって決定されます。

2. 標本化との関係

DTFT は、連続時間信号 x(t) を一定間隔 T でサンプリングしたデータ x[n] = x(nT) に対して適用されます。このサンプリング周波数 fs = 1/T は、DTFT の結果に大きな影響を与えます。サンプリング周波数が低すぎると、エイリアシングと呼ばれる現象が発生し、本来の周波数成分が歪んでしまいます。

DTFT は、連続時間フーリエ変換 X(f) と密接に関連しています。具体的には、X(ω) は、X(f) を fs 間隔で重ね合わせたものと考えることができます。この重ね合わせは、サンプリング周波数 fs が十分に高い場合にのみ、元のスペクトル X(f) を正確に反映します。この関係は標本化定理によって保証されています。

3. 周期性

DTFT の重要な性質の一つに、周期性があります。X(ω) は、2π の周期を持つ周期関数です。つまり、X(ω + 2πk) = X(ω) (k は整数) が成り立ちます。この周期性は、時間領域信号が離散的であることに起因します。

この周期性のため、DTFT のスペクトルを -π から π の範囲で解析すれば、全ての周波数情報を取得できます。

4. 逆変換

DTFT の逆変換は、周波数領域信号 X(ω) から時間領域信号 x[n] を復元する操作です。その定義式は次のとおりです。

x[n] = (1/(2π)) ∫ (ω = -π to π) X(ω) e^(jωn) dω

この式は、周波数領域信号 X(ω) を、様々な時間成分 e^(jωn) の重ね合わせとして表現していることを示しています。

5. 有限長シーケンス

実際には、無限長の信号を扱うことは不可能なため、有限長の信号を扱う必要があります。有限長信号のDTFTは、無限長信号のDTFTの近似として用いられます。しかし、有限長にすることで、スペクトルの漏れが生じることに注意が必要です。このスペクトルの漏れは窓関数を使用することで軽減できますが、完全に除去することはできません。

6. DFT との関係

DTFT を数値的に計算する際には、離散フーリエ変換 (DFT) が用いられます。DFT は、DTFT を一定間隔で標本化したものであり、高速フーリエ変換 (FFT) アルゴリズムを用いて効率的に計算できます。DFT の解像度は、DTFT を標本化する際のサンプル数 N によって決まり、DTFT 自体の解像度は信号の長さ L によって決まります。通常、N ≥ L となります。N > L の場合、ゼロパディングが行われ、DFTの計算効率が向上します。

7. Z 変換との関係

DTFT は、Z 変換の特殊な場合と考えることができます。Z 変換は、複素平面上の任意の点 z で評価できますが、DTFT は z = e^(jω) 、つまり単位円上での Z 変換と等価です。

8. まとめ

DTFT は、離散時間信号の周波数解析に強力なツールです。その性質、DFT、Z 変換との関係を理解することで、より効果的に DTFT を活用できます。本稿では、基本的な定義から応用まで幅広く解説することで、DTFT の理解を深めることを目指しました。

参考文献

Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing (2nd Edition ed.). Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 0-13-754920-2
William McC. Siebert (1986). Circuits, Signals, and Systems. MIT Electrical Engineering and Computer Science Series. Cambridge, MA: MIT Press
Boaz Porat. A Course in Digital Signal Processing. John Wiley and Sons. pp. pp. 27-29 and 104-105. ISBN 0-471-14961-6

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