非ホロノミック系

非ホロノミック系とは

物理学や数学において、非ホロノミック系とは、パラメータが連続的に変化し、元の値に戻ったとしても、系全体としては元の状態に戻らないような微分拘束を受けるシステムのことです。より具体的には、系の状態が、支配パラメータの閉じた軌道に沿って変化することで、別の状態へと移行する系のことを指します。

ホロノミック系との違い

非ホロノミック系とは対照的に、ホロノミック系は、系の状態が初期状態と最終状態のみによって決定され、その間の経路には依存しません。例えば、重力の逆二乗の法則に従う系はホロノミック系の典型例です。ホロノミック系は可積分と呼ばれることがあり、非ホロノミック系は不可積分と呼ばれることがあります。

非ホロノミック系の特徴

非ホロノミック系では、解軌道を積分していくと、値に一定のずれが生じます。このずれのことをanholonomy（アナホロノミー）と呼びます。この用語は、1894年にハインリヒ・ヘルツによって提唱されました。

非ホロノミック系の一般的な特徴は、系を記述するパラメータ間の依存関係が明示的でない点にあります。パラメータ空間の次元を増やすことで隠れた依存関係を解消できる場合、その系は非ホロノミック系ではなく、単に低次元でモデル化されているに過ぎません。一方で、独立した座標（パラメータ）では表現できない系は本質的に非ホロノミック系です。

内部状態と外部状態を区別して説明しようとする試みもありますが、実際にはすべてのパラメータが系を特徴づける上で必要であり、内部と外部の区別は人為的なものです。

簡単に言えば、保存則が成り立つ系と成り立たない系には、本質的な違いがあるということです。球面上の平行移動を考えると、その違いが明確になります。リーマン多様体は、ユークリッド空間とは異なる計量を持っており、球面上の平行移動では、暗黙の依存関係は非ユークリッド計量に内在しています。球面は2次元の空間であり、次元を増やすことで計量の性質が明確になるものの、リーマン計量に由来する依存関係を持つ2次元空間であることに変わりはありません。

非ホロノミック系の例

1. フーコーの振り子

古典的な非ホロノミック系の例として、フーコーの振り子が挙げられます。局所座標系では、振り子は地軸の北方向に対して特定の方向に振れています。系の陰の軌道は振り子の位置を通る緯線であり、振り子は地球に固定された座標系では静止していても、太陽を基準とした座標系から見れば地球の公転によって運動しています。

この座標系は慣性座標系と考えることもできますが、より厳密には慣性系ではありません。地球に固定された座標系は、遠心力やコリオリ力が観測されることから、非慣性座標系として知られています。緯線に沿った運動は、通過時刻によって特徴づけられ、フーコーの振り子の振動面は局所座標において鉛直軸周りに回転します。この回転角が系のanholonomyです。

2. 転がる球体

水平なテーブルに、原点とxy軸が記された直交座標系を考えます。半径が1の球（例えば卓球の球）に、点Bと赤道上に点Rの印をつけます。点Bが原点に一致するように球を置くと、点C（球の中心）の座標は(0, 0, 1)となります。この状態を初期姿勢とします。

球は平面z=0上を、Cが初期位置に戻る任意の連続的な軌跡に沿って、滑ったりスピンせずに転がることができます。しかし、点Bは必ずしも原点に戻らず、点Rもx軸上の正の位置にあるとは限りません。実際には、適切な軌道を選ぶことで、初期姿勢に対して任意の姿勢にすることができます。したがって、この系は非ホロノミック系です。anholonomyは、球の姿勢を表す2つの固有の[四元数]によって表現できます。

3. 光ファイバー中の直線偏光した光

長さ3mの直線的な光ファイバーを考えます。垂直偏光した光を一方の端面から導入すると、偏光状態を保ったままもう一方の端面から出てきます。次に、光ファイバーを直径10cmの円筒に巻き付けると、光ファイバーの軌跡は螺旋状になります。この螺旋は一定の捩率を持ち、ファイバーはその曲線を軸として、曲線に沿って進むにつれて回転します。再び直線偏光した光を一方の端面から導入すると、出てくる光の偏光の向きは、ファイバーの模様に沿ったものではなく、一定の角度だけずれます。この角度のずれがanholonomyであり、ファイバーの長さや螺旋のピッチ、半径に依存します。

非ホロノミック拘束

非ホロノミック拘束は、以下の形式で表され、積分不可能です。

math
\sum_{i=1}^{n}a_{s,i}dq_{i}+a_{s,t}dt=0~~~~(s=1,2,...,k)


ここで、nは座標の数、kは拘束方程式の数、qiは座標、asiは係数です。左辺は全微分、あるいは積分因子を掛けても全微分に変換できないものでなければなりません。

仮想変位で表せば、拘束は以下の微分形式で与えられます。

math
\sum_{i=1}^{n}a_{s,i}\delta q_{i}=0~~~~(s=1,2,...,k)

まとめ

非ホロノミック系は、その特性上、物理学や工学の様々な分野で重要な概念です。これらの系を理解することで、複雑な現象をより深く解析し、制御するための道が開かれます。

関連項目

* ホロノミック系

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