非推移的ゲーム

非推移的ゲーム（ひすいいてきげーむ）

非推移的ゲームとは、複数の戦略が関わる状況において、戦略間の選好や優劣の関係に推移性（すいいせい、transitivity）が成り立たない特性を持つゲームを指します。

数学や論理学における推移関係は、「もしAがBに対してある関係を持ち、かつBがCに対して同じ関係を持つならば、AはCに対してもその関係を持つ」という性質です。例えば、「より大きい」という関係（A > B かつ B > C ならば A > C）や、「等しい」という関係（A = B かつ B = C ならば A = C）は推移的です。

しかし、非推移的ゲームにおいては、この推移性が崩れます。つまり、戦略Aが戦略Bよりも有利であったり、好まれたりし、かつ戦略Bが戦略Cよりも有利であったり、好まれたりする場合でも、戦略Aが戦略Cよりも有利であるとは限らない、あるいは逆に不利になることさえあり得ます。戦略間の優劣関係が線形ではなく、循環的な構造を形成するのが特徴です。

具体例

非推移的ゲームの最も典型的な例は、じゃんけんです。じゃんけんには、「グー」「チョキ」「パー」という三つの戦略があります。それぞれの戦略間の優劣は以下のようになっています。

グーはチョキに勝つ。
チョキはパーに勝つ。
パーはグーに勝つ。

この関係を見ると、グーはチョキに勝ち、チョキはパーに勝つにもかかわらず、グーはパーに勝つわけではなく、逆に負けてしまいます（パーがグーに勝つ）。これはまさに非推移性の典型的な例であり、じゃんけんが意図的に非推移的な構造を持つゲームとして設計されていることがわかります。

じゃんけんのような明快なルールに基づくゲーム以外にも、確率的な要素を含むゲームにおいて非推移性が生じることがあります。

ペニーのゲーム（Penney's game）は、非推移性が確率的な結果として現れる例の一つです。これは、コイン投げの裏表の特定のパターンが先に現れた方が勝ちとなるゲームで、適切なパターンを選択すると、相手のパターンに対して高い確率で勝てるにもかかわらず、さらに別のパターンはそのパターンに対して高い確率で勝つ、という非推移的な確率的優劣関係が生じ得ます。このような非推移性は、しばしば確率のパラドックスとして提示され、直感に反する結果をもたらすことがあります。

また、非推移的サイコロ（Nontransitive dice）も非推移的ゲームの例です。これは、複数のサイコロの組で、サイコロAがサイコロBに対して高い確率で勝つ（出る目が大きい）傾向があり、サイコロBがサイコロCに対して高い確率で勝つ傾向があるにもかかわらず、サイコロAはサイコロCに対して高い確率で勝つ傾向がない、あるいは負ける傾向があるというように、確率的な優劣が循環する性質を持つものです。有名な例としては、エフロンのサイコロなどがあります。

非推移性の意義

非推移性は、単純な線形の優劣関係が成り立たない状況を示しており、ゲーム理論や意思決定の文脈で重要な意味を持ちます。非推移的な状況下では、常に他の全ての戦略に対して最適な戦略というものが存在しない場合があります。戦略の選択は、相手がどの戦略を選ぶかに依存し、最適な反応が循環する「石、紙、はさみ」のような構造になりがちです。

このような非推移的な関係は、ゲーム理論だけでなく、生物学における種間の競争関係や社会的な選択、経済学など、様々な分野で観察されることがあります。単純なランキング付けが困難な状況や、特定の選択が直感に反する結果をもたらすパラドックスの背後に、非推移性が存在することがあります。

関連概念

非推移性（Intransitivity）: 推移性が成り立たない性質そのものを指す言葉です。
推移関係（Transitive relation）: 推移性が成り立つ関係性を指します。

非推移的ゲームに関する理解は、単純な比較やランキングだけでは捉えきれない複雑な戦略的状況を分析する上で不可欠です。確率的な状況で生じる非推移性は、直感に頼るだけでなく、数学的な分析の重要性を示唆しています。

（参照文献: Gardner, Martin. The Colossal Book of Mathematics*. W.W. Norton, 2001.）

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