鞍点

鞍点（あんてん）

鞍点（英: saddle point）は、数学における多変数実関数に関連する概念の一つです。「鞍部点」や「峠点」とも呼ばれるこの点は、関数のグラフ上で、ちょうど馬の鞍や山岳の峠のような形状を示す場所を特徴づけています。

概要

多変数関数が定義される空間内の特定の点において、その点を通る様々な方向を考えてみましょう。もし、ある一つの方向に沿って関数の値の変化を見ると、その点がちょうどピーク（極大値）になっているように見えるとします。しかし、その同じ点において、全く異なる別の方向に沿って関数の値の変化を見ると、今度は谷底（極小値）になっているように見えるとしたら、そのような点が「鞍点」です。

このように、鞍点では特定の方向では極大のような振る舞いをし、また別の方向では極小のような振る舞いをします。これは、通常一つの方向で決まる極値（極大値や極小値）とは根本的に異なる性質です。特に、微分可能な関数において、関数の勾配がゼロになる点を「停留点」と呼びますが、鞍点は極大点でも極小点でもない停留点として位置づけられます。

定義

数学的に厳密に言うと、n個の変数を持つ実関数 $f(x_1, \dots, x_n)$ の定義域内の点 $(a_1, \dots, a_n)$ が鞍点であるとは、ゼロベクトルではない少なくとも二つの異なる方向ベクトル $M = (M_1, \dots, M_n)$ と $m = (m_1, \dots, m_n)$ が存在し、以下の条件を満たすことを指します。

1. 点 $(a_1, \dots, a_n)$ を通り、方向 $M$ に沿って関数を一次元的に見たときの関数 $g(t) = f(a_1 + tM_1, \dots, a_n + tM_n)$ が、$t=0$（すなわち元の点）で極大値をとる。
2. 点 $(a_1, \dots, a_n)$ を通り、方向 $m$ に沿って関数を一次元的に見たときの関数 $h(t) = f(a_1 + tm_1, \dots, a_n + tm_n)$ が、$t=0$（すなわち元の点）で極小値をとる。

ここでいう「極大値」や「極小値」の定義には、その点での値が周辺のどの点よりも大きいか（小さいか）を厳密に大きいか（小さいか）とするか、等しい場合も許容するかによって「狭義」と「広義」があります。これに伴い、鞍点の定義にも広義と狭義が存在する場合があります。

例

二変数関数 $f(x, y) = x^2 - y^2$ を考えてみましょう。この関数のグラフは、ちょうど馬の鞍のような形をしています。この関数の原点 $(0,0)$ が鞍点であることを確認します。

• - まず、$x$軸方向（方向ベクトルとしては例えば $(1,0)$）に沿って原点 $(0,0)$ から移動したときの関数の値の変化を調べます。この線上では $y=0$ ですから、関数は $f(x, 0) = x^2$ となります。原点 $(0,0)$ はこの直線上で $x=0$ に対応します。一次元関数 $g(x) = x^2$ は、$x=0$ で最小値 $0$ をとります。つまり、原点は$x$軸方向に見ると極小点のように振る舞います。
• - 次に、$y$軸方向（方向ベクトルとしては例えば $(0,1)$）に沿って原点 $(0,0)$ から移動したときの関数の値の変化を調べます。この線上では $x=0$ ですから、関数は $f(0, y) = -y^2$ となります。原点 $(0,0)$ はこの直線上で $y=0$ に対応します。一次元関数 $h(y) = -y^2$ は、$y=0$ で最大値 $0$ をとります。つまり、原点は$y$軸方向に見ると極大点のように振る舞います。

このように、原点 $(0,0)$ は$x$軸方向では極小点のように見え、$y$軸方向では極大点のように見えます。定義に従い、異なる二つの方向で極大と極小の両方の性質を示すため、原点 $(0,0)$ は関数 $f(x, y) = x^2 - y^2$ の鞍点であると確認できます。

性質

微分可能な多変数関数において、関数の勾配ベクトルがゼロになる点は「停留点」と呼ばれます。停留点は、その点での接平面が水平になるような場所です。停留点はさらに、極大点、極小点、または鞍点に分類されます。

極大点や極小点では、その点からどの方向に移動しても、関数の値は減少するか（極大点）、または増加するか（極小点）のいずれかの傾向を示します。しかし、鞍点では前述のように、方向によって関数の増減の傾向が逆転するため、極大点でも極小点でもありません。

停留点が鞍点であるかどうかを判定するためには、その点における関数の二階偏導関数を行列にしたヘッセ行列の固有値を調べることが有効です。ヘッセ行列の固有値の中に正のものと負のものとが両方含まれる場合、その停留点は鞍点となります。

関連概念

鞍点の概念は、数学的な解析学だけでなく、様々な応用分野で重要となります。例えば、最適化問題において関数の最小値や最大値を探索する際に、鞍点は探索アルゴリズムを停滞させる要因となることがあります。また、物理学や化学における力学系やエネルギー地形の解析において、鞍点は安定点と安定点を結ぶ不安定な経路上の点（例えば化学反応における遷移状態）として現れることがあります。

関連用語

極値
停留点
ヘッセ行列
遷移状態
* 最大最小不等式

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