ヘッセ行列

ヘッセ行列：多変数関数の極値を判定する強力なツール

数学において、ヘッセ行列は多変数スカラー値関数の二階偏導関数から構成される正方行列です。この行列は、関数の極値（極大値や極小値）を判定する上で非常に重要な役割を果たします。ドイツの数学者ルートヴィヒ・オットー・ヘッセにちなんで名付けられ、その有用性から様々な分野で活用されています。

ヘッセ行列の定義

実数値関数 \(f(x_1, x_2, ..., x_n)\) のすべての二階偏導関数が存在する場合、ヘッセ行列 \(H(f)\) は以下のように定義されます。\((i, j)\) 成分 \(H(f)_{ij}\) は、各点 \(x = (x_1, x_2, ..., x_n)\) において、

\(H(f)_{ij}(x) =
abla_i
abla_j f(x) = \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} f(x)\)

と表されます。ここで、\(
abla_i = \frac{\partial}{\partial x_i}\) は \(x_i\) に関する偏微分作用素です。つまり、ヘッセ行列は関数のすべての二階偏導関数を成分として持つ正方行列です。

具体的には、二変数関数 \(f(x, y)\) のヘッセ行列は次のように表せます。

\(H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{bmatrix}\)

ヘッセ行列の対称性

ヘッセ行列の重要な性質として、対称性が挙げられます。関数の二階偏導関数がすべて連続であれば、混合微分の順序は交換可能であり、

\(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\)

が成立します。このため、ヘッセ行列は対称行列となります。

臨界点とヘッセ行列

関数の傾き（勾配ベクトル）\(
abla f\) がある点 \(x\) で 0 となる点のことを臨界点または停留点といいます。この臨界点において、ヘッセ行列の行列式（ヘッシアン）が 0 でない場合、その臨界点は非退化であり、モース臨界点と呼ばれます。ヘッセ行列の固有値と核は、臨界点の種類を分類する上で重要な役割を果たします。モース理論はこのヘッセ行列の性質を基盤として構築されています。

極値判定

非退化臨界点において、ヘッセ行列を用いて極値を判定することができます。

正定値行列: ヘッセ行列が正定値行列の場合、その点は極小値です。
負定値行列: ヘッセ行列が負定値行列の場合、その点は極大値です。
* 不定値行列: ヘッセ行列が正負両方の固有値を持つ場合、その点は鞍点です。

ヘッセ行列が半正定値または半負定値の場合は、この判定法だけでは極値であるかどうかの判定はできません。

凸性の判定

凸開集合上で定義された実数値関数fの凸性は、ヘッセ行列を用いて判定できます。ヘッセ行列が半正定値であることと、関数が凸であることは同値です。また、ヘッセ行列が正定値であることは、関数が狭義凸であるための十分条件となります。

制約条件付き最適化問題

制約条件のある最適化問題においては、境界つきヘッセ行列が用いられます。制約条件の数だけ、ヘッセ行列の行と列に境界行と境界列を追加した行列です。境界つきヘッセ行列を用いることで、制約条件下での極値を判定できます。

ベクトル値関数とリーマン多様体への拡張

ヘッセ行列の概念は、ベクトル値関数やリーマン多様体へも拡張することができます。ベクトル値関数の場合、二階導関数はテンソルとして表現されます。リーマン多様体上では、レビ・チビタ接続を用いてヘッセテンソルを定義し、同様の極値判定を行うことができます。

まとめ

ヘッセ行列は、多変数関数の極値を判定する上で非常に強力なツールです。その対称性、臨界点との関係、そして様々な拡張により、数学における様々な問題解決に役立っています。

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