順圧

流体力学におけるバロトロピック流体

流体力学では、流体が順圧である、つまりバロトロピックであるという概念があります。これは、流体の圧力が密度のみに影響されることを指します。具体的には、等圧面と等密度面が重なる関係にあります。この特性により、流体の性質を解析する上での重要な枠組みとなります。

バロトロピック流体の例

天体力学の分野では、恒星内部の流体をモデル化する際にポリトロピック流体がよく利用されます。ポリトロピック流体は、その圧力が密度のべき乗で表せる流体であり、このような流体はバロトロピック流体の一種と見なされます。さらに、密度が常に一定である流体もバロトロピック流体に分類されます。

静水圧平衡

流体が静止している状態、つまり静水圧平衡にあるときには、順圧性が必要です。圧縮可能な流体が外部からの力を受けて静止している場合、外部の圧力勾配と流体に働く力が釣り合っています。この釣り合いを表現する式は次の通りです。
$$

• -rac{1}{

ho}
abla p + oldsymbol{f} = 0
$$
ここで、$p$は圧力、$
ho$は密度、$oldsymbol{f}$は単位質量あたりの外力を示します。

このとき、重力や遠心力など、外部の力が保存力であると仮定します。保存力のポテンシャルを$
abla
angle ext{Ω} $とすると、次の式が成立します。
$$

• -rac{1}{

ho}
abla p -
abla ext{Ω} = 0
$$
両辺の回転をとると、
$$
ext{rot} ext{grad} ext{Ω} = 0
$$
となり、ここから
$$

0 =
abla imes igg(-rac{1}{
ho}
abla pigg) = rac{1}{
ho^{2}}igg(
abla
ho imes
abla pigg)
$$
が導かれます。したがって、$
abla
ho$と$
abla p$は平行であることがわかります。

このアプローチから、流体の密度と圧力の等値面が一致し、順圧性が成立しているということが示されます。順圧性が成立する場合、密度は圧力の関数となり、次のように表現できます。
$$

• -rac{1}{

ho}
abla p = -
abla igg(rac{dp}{
ho}igg)
$$
この性質により、非粘性バロトロピック流体においてはベルヌーイの定理やケルビンの渦定理が成立します。これらの定理は、流体の運動やエネルギー変換の理解を深める重要なツールです。

参考文献

• - Tritton, D.J.,『トリトン流体力学<上>』 川村哲也訳 インデックス出版 2002年4月1日初版発行 ISBN 4901092251
• - 今井功 『流体力学(前編)』裳華房、1973年11月25日発行、ISBN 4785323140
• - 木村竜治 『地球流体力学入門』東京堂出版、1983年4月10日発行、ISBN 4490200684

関連項目

• - 圧縮性流体
• - 傾圧

このように、バロトロピック流体の理解は流体力学の基礎を形成するものであり、天体や自然界の多くの現象を理解するために不可欠です。

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