ポテンシャル

ポテンシャル（Potential）

ポテンシャルとは、物理学においてエネルギーの変換や保存を理解するために用いられる概念で、潜在力や潜在性を表す用語として知られています。最初にこの概念を提唱したのは、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュで、1773年のことでした。ラグランジュの時代には「ポテンシャル」という名前は与えられておらず、この名称を定めたのはジョージ・グリーンで1828年のことです。さらに、ポテンシャルの研究は、カール・フリードリヒ・ガウスやウィリアム・トムソン、ペーター・グスタフ・ディリクレなどによって進化し、特にディリクレ問題、ノイマン問題、斜交微分の問題がポテンシャル論における重要なテーマとして注目されました。

ポテンシャルの定義

狭義においてポテンシャルは、空間内の各点に働く力Fが、当該点におけるある特定の量Vから導き出される時に、このVをポテンシャルと呼びます。この関係式から言えることは、Vがスカラーポテンシャルにおける勾配として表現されることです。具体的には、勾配（grad）はナブラ（∇）で表されます。

力と仕事の関係

質点が力Fの作用の下にあると仮定し、質点が微小な変位dl = (dx, dy, dz)する時、力がなす仕事dWは、次のように表現されます。これに基づき、ポテンシャルに関連する関係式も導出することができます。

質点が位置AからBへ移動する間に行った仕事WA-Bは、ポテンシャルの変化によって定義され、これは質点の動く経路に依存しないことが重要です。どのような経路を通過しても、質点がなした仕事は同じであるため、このような力を保存力（conservative force）と呼びます。また、このような保存力だけが作用する場を保存力場と称します。特に、質点が位置Aから出発して同じ位置に戻る際の仕事は、経路に関係なくゼロになります。

ポテンシャルエネルギー

ポテンシャルを理解する上で重要なのがポテンシャルエネルギーです。これは、ポテンシャルが力Fに関連付けられたエネルギーであり、位置rに応じたV（r）によって示されます。この時のrは質点の位置であり、時間tに対する関数として表されます。運動方程式を考慮することで、質点の運動エネルギーとポテンシャルとの関係を明らかにすることができます。具体的には、元の力Fによって生じた運動方程式に基づいて、エネルギーの保存が成り立ちます。

参考文献と関連分野

ポテンシャルに関する更なる情報は、例えば日本数学会の『岩波数学辞典（第3版）』などで確認できます。また、ポテンシャルに関連する多様な問題や概念として、ディリクレ問題、調和関数、ヘルムホルツの定理などが存在します。ポテンシャルの概念は水ポテンシャルや熱力学ポテンシャル、化学ポテンシャルなど、さまざまな分野でも関連し利用されています。

このように、ポテンシャルは物理学の根幹を成す重要な概念であり、エネルギーの変換や保存に関する理解を深める上で欠かせないものとなっています。

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