高々 (数学)

数学における「高々」の意味

数学における「高々」という表現は、英語の "at most" に対応する学術用語であり、厳密な意味を持っています。これは「多くとも」や「以下」と同義であり、ある数値や集合の要素数の上限を示す際に用いられます。

例えば、「x は高々 2 である」という表現は、「x は 2 以下である」、つまり「x ≤ 2」を意味します。同様に、「高々可算」は「有限個（1つもないケースを含む）または可算無限個である」ということを意味します。

「高々可算」と「可算」

「高々可算」は、「可算以下」とは通常表現しません。単に「可算」と言う場合、文脈によっては「高々可算」と同じ意味で用いられることがあります。しかし、「可算」が可算無限のみを意味する場合もあるため、有限個でも良いことを明確に示すために「高々可算」という表現が好まれます。

「高々有限個」

「高々有限個」は、「有限個あるいは0個」であることを意味します。0も有限の値であるため、単に「有限個」や「無限個ではない」と言うのと同じ意味ですが、0個の場合も含まれることを明示したい場合に「高々有限個」という表現が用いられます。

使用例

具体的な使用例を見てみましょう。

体上の n 次方程式の解は、高々 n 個である。

これは、n 次方程式の解の数が n 個以下であることを意味します。

有界な関数 (a, b) → R がリーマン可積分であるための必要十分条件は、不連続点が高々可算個であることである。

これは、関数の不連続点の数が有限個、または可算無限個であることを意味します。

日常語との差異

日常語での「高々」は、「あまり多くはない」というニュアンスを持つことが多いですが、数学における「高々」は、無限の場合でも用いられます。また、否定的なニュアンスはほとんどありません。日常語ではニュアンスが重視されるため、数学における厳密な意味を持たない場合があります。

例えば、1000人収容の会場に「客は高々100人だろう」と予想した場合、実際の客が101人であれば、日常的には良い予想とされます。しかし、数学的にはこの命題は偽となります。一方で、「今日の最高気温は高々28℃だろう」と予想し、実際の最高気温が30℃であれば、日常的にも数学的にも偽の命題となります。

まとめ

「高々」は数学において厳密な意味を持つ用語であり、日常語とは異なる使い方をすることがあります。数学的な文脈では、上限を明確に示すために用いられ、否定的なニュアンスは含まれません。この点を理解することで、より正確な数学的思考が可能になります。

関連項目

違いを除いて
ほとんど (数学)

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