9次元

9次元（きゅうじげん、くじげん、九次元）

空間が持つ次元の数が9である状態、あるいはそのような構造を持つとされる空間を指す概念です。私たちの日常的な経験において空間は縦・横・高さの3つの次元として認識されますが、理論物理学や数学の分野では、これを超える高次元空間の存在が研究されています。9次元空間は、特に素粒子の理論や宇宙論において重要な役割を果たす可能性が示唆されています。

カラビ・ヤウ空間と9次元

9次元という概念が具体的に登場する文脈の一つに、「カラビ・ヤウ空間（Calabi-Yau space）」があります。これは、数学者エウゲニオ・カラビが1954年に提唱した「カラビ予想」に関連するものです。カラビ予想は、ある種の条件（例えば、第一チャーン類がゼロであるコンパクトなケーラー多様体）を満たす多様体には、リッチ平坦と呼ばれる特別な性質を持つケーラー計量が存在するという予想でした。この予想は、その後、数学者のシン＝トゥン・ヤウ（Shing-Tung Yau）によって1977年に証明され、その存在が数学的に確立されました。

カラビ・ヤウ空間は、このカラビ予想によって存在が証明された、特別な性質を持つ多様体です。理論物理学、特に超ひも理論などでは、私たちの宇宙の基本構造を説明するために、カラビ・ヤウ空間が「余剰次元（extra dimensions）」の候補として用いられることがあります。これらの理論では、私たちの観測する3次元の空間に加えて、非常に小さく折り畳まれた余剰の次元が存在すると考えられており、カラビ・ヤウ空間はその余剰次元の形状を記述すると考えられています。

inputによると、9次元は、このようなカラビ・ヤウ空間に見られる6次元の特殊な余剰空間と、私たちが普段認識している3次元空間を合わせたものとして捉えられます。つまり、$3 + 6 = 9$ という次元構成です。カラビ・ヤウ空間自体は通常、複素3次元、すなわち実6次元の多様体として定義されることが多いため、これが余剰の6次元部分に対応すると考えられています。

観測の難しさとコンパクト化

現在の科学技術をもってしても、この9次元、特に余剰の6次元部分を直接観測することはできません。その主な理由として、「コンパクト化（compactification）」と呼ばれる状態にあることが挙げられます。コンパクト化とは、次元が非常に小さなスケールに折り畳まれて閉じている状態を指します。

想像してみてください。遠くから見るとただの線に見える細いホースも、近づいて見ればその表面には幅や厚みといった円周方向の次元が存在します。もしその「円周」が原子よりもさらにずっと小さければ、どれだけ高性能な顕微鏡を使ってもその円周方向の次元を分解して見ることはできません。カラビ・ヤウ空間が記述するとされる余剰の6次元も、これと同様に極めて小さなスケールでコンパクト化されているため、現在の観測装置では捉えることができないと考えられています。

このコンパクト化された余剰次元の具体的な形状は、観測可能な3次元空間での物理法則や素粒子の種類、その性質に影響を与えると考えられています。しかし、その具体的な形状がどのようなものであるかは、まだ完全に解明されていません。

宇宙の誕生との関連

9次元やそれ以上の高次元の概念、特にカラビ・ヤウ空間のような余剰次元の形状に関する理論は、宇宙の究極的な姿や、ビッグバン以前の宇宙がどのような状態であったのかを理解する鍵となる可能性が示唆されています。これらの高次元理論は、重力と量子力学を結びつけようとする試み、いわゆる「万物の理論」の候補となる理論（例えば超ひも理論など）の中で重要な役割を担っています。

宇宙がどのように始まり、なぜ現在の3次元空間と時間という構造を持っているのかといった根本的な問いに対し、余剰次元のダイナミクスや形状が関係しているという考え方があります。例えば、宇宙のインフレーション理論やブレーン宇宙論といった現代宇宙論のフロンティアにおいて、高次元空間が初期宇宙の急速な膨張や物質分布の形成に影響を与えた可能性が議論されています。

このように、9次元という概念は、単なる空間の次元数を超え、素粒子物理学、宇宙論、そして純粋数学の各分野にまたがる壮大な理論的探求の一部となっています。現在の技術では直接的な観測は不可能ですが、理論的な研究が進むことで、宇宙の最も深い謎に迫る手がかりが得られると期待されています。

参考文献

Calabi, E. (1954). The space of Kähler metrics. Proc. Internat. Congress Math. Amsterdam, 2, 206–207.
Calabi, E. (1957). On Kähler manifolds with vanishing canonical class. In Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz (pp. 78–89). Princeton University Press.
Yau, S.-T. (1977). Calabi's conjecture and some new results in algebraic geometry. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 74(5), 1798–1799.
Yau, S.-T. (1978). On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I. Communications on Pure and Applied Mathematics, 31(3), 339–411.
Tian, G., & Yau, S.-T. (1990). Complete Kähler manifolds with zero Ricci curvature, I. Journal of the American Mathematical Society, 3(3), 579–609.
Tian, G., & Yau, S.-T. (1991). Complete Kähler manifolds with zero Ricci curvature, II. Invent. Math., 106(1), 27–60.
Yau, S.-T. (2009). A survey of Calabi-Yau manifolds. Surv. Differ. Geom.*, 13, 277–318. Scholarpedia, 4(8): 6524.

（注：参考文献はinputのものをそのまま記載）

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