ARCHモデル

ARCHモデル（自動回帰条件付き分散モデル）について

ARCHモデル（Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model）は、日本語で「分散自己回帰モデル」や「分散不均一モデル」とも呼ばれ、主に金融経済学や計量経済学において時間的に変動するデータの分析に用いられます。1982年にロバート・エングルによって提案されたこのモデルは、特に金融時系列データに対して高い適用性を持っています。

分散不均一性とは

金融市場では、時期によって資産価格やその収益の変動（ボラティリティ）の程度が大きく異なることが観察されます。例えば、景気が良い時期には変動が少ない一方で、不況期の前にはその変動が大きくなる傾向があります。この現象を「ボラティリティ・クラスタリング」や「分散不均一性」と呼びます。このような特性を持つデータに対して、ARCHモデルが適用されることで、将来の変動を予測する手助けとなります。

ARCH(q)モデルの構造

ARCHモデルでは、時系列データの各時点について、過去の情報から期待値を算出します。その期待値を真の値から引いたものが分散（誤差）として扱われるのです。具体的には、時系列データである $y_t$ を以下のように表現します。

$$
y_t =
u_t + u_t
$$

ここで、$u_t$ は実際の誤差項であり、予測時の条件に応じて変動します。さらに、「誤差項の分散」は以下の式により決定されます。

$$
ext{Var}(u_t) = ext{E}[u_t^2] = egin{cases} ext{A}_{0} + ext{A}_{1}u_{t-1}^2 + ext{A}_{2}u_{t-2}^2 + ext{...} + ext{A}_{q}u_{t-q}^2 & ext{(q次自己回帰モデル)} \\ ext{A}_{0} + ext{Σ}_{i=1}^{q}{ ext{A}_{i}u_{t-i}^2} \\ ext{A}_{i} = 0, ext{for} i > q ext{ and for } p > i ext{ respectively} \\ ext{定常条件}\z ext{ の全ての解の絶対値が1より大きくなること} \\ ext{(自己回帰可視性があること)} \\ ext{Econometric Theory } ext{条件を満たす必要がある} \\ ext{オープンエコノミー} \\ ext{実証的な特性に応じた例から使用される条件}\ ext{(詳細は参考文献参照)}
ext{.
$$

このように、ARCH(q)モデルは過去のデータの2乗誤差が現在のボラティリティに影響を与えると仮定しています。

GARCH(p,q)モデル

ARCHモデルの基本的なアイデアを発展させたのがGARCH（Generalized ARCH）モデルです。1986年にTim Bollerslevによって提案され、現在の条件付きボラティリティが過去のボラティリティと分散に依存することを考慮します。つまり、GARCHモデルは以下の関係式で表されます。

$$
ext{Var}(y_t) = ext{A}_{0} + ext{Σ}_{i=1}^{q}{ ext{A}_{i}u_{t-i}^2} + ext{Σ}_{j=1}^{p}{ ext{B}_{j}σ_{t-j}^2}
$$

このモデルでは、過去のボラティリティも考慮するため、より柔軟な構造を持っています。

GARCHモデルの拡張

GARCHモデルにはさらに多くの拡張が存在し、代表的なものにEGARCHモデルやGJR-GARCHモデルがあります。これらはボラティリティの非対称性や異常時のボラティリティの増加など、現実の金融市場の特性をより良くモデル化するために開発されました。例えばEGARCHモデルでは、ボラティリティの対数を通じて分散をモデル化し、より緩やかな制約を持っています。

結論

ARCHおよびその拡張モデルは、金融市場におけるボラティリティの時系列分析において非常に重要な役割を担っています。これらのモデルを用いることで、市場の変動性を定量化し、リスク管理や投資戦略の策定に役立てることが可能です。

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