Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes

『曲線を理解するための無限小の解析』（仏: Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes）は、1696年にフランスの数学者ギヨーム・ド・ロピタルによって出版された歴史的な数学書です。この書籍は、ゴットフリート・ライプニッツが創始した無限小解析、特に微分法に関する内容を体系的にまとめた、世界で最初の本格的な教科書として位置づけられています。

書籍の内容とその特徴

本書は、微分法に特化して記述されており、当時の無限小解析のもう一つの柱であった積分法は含まれていませんでした。積分法については、ロピタルの師にあたるスイスの数学者ヨハン・ベルヌーイが、本書に先立つ1692年に刊行した著作が、積分法に関する最初の教科書とされています。ベルヌーイはこれ以前の1691年にも微分法に関する著作を出版しており、ロピタルの著作はベルヌーイの研究成果に大きく依拠していることが知られています。

ロピタルの定理とベルヌーイの貢献

本書で最も有名かつ重要な貢献とされているのが、いわゆる「ロピタルの定理」の初出です。この定理は、分数形をした関数の極限において、分子と分母がともにゼロまたは無限大となる「不定形」の場合に、その極限値を求めるための強力な手法を提供するものです。しかし、この定理の実際の発見者はロピタル自身ではなく、彼の師であったヨハン・ベルヌーイであった可能性が極めて高いと考えられています。

ロピタルとベルヌーイの関係、そして契約

ロピタルは貴族階級の裕福な人物であり、優れた数学的才能を持ちながらも、当時最高の数学者の一人であったヨハン・ベルヌーイを経済的に支援していました。具体的には、ロピタルはベルヌーイを年間300フランという当時としては破格の報酬で雇用し、無限小解析、特に微分積分学における困難な問題の研究や理論の深化を委ねていました。さらに特筆すべきは、両者の間に交わされた契約です。この契約により、ベルヌーイが数学的研究によって得たあらゆる発見や成果を、ロピタルがいかなる形でも自由に利用することが許可されていました。これは、ロピタルが自らの研究活動を進める上で、ベルヌーイの知識と才能を最大限に活用しようとした結果と言えます。

出版を巡る経緯と「ロピタルの定理」の命名

ロピタルが『曲線を理解するための無限小の解析』を出版するにあたり、彼は自らの名を伏せ、匿名で刊行しました。その意図は、本書の数学的内容の大部分がヨハン・ベルヌーイの研究成果に基づいていることを認め、ベルヌーイに正当な評価（クレジット）が与えられるべきだと考えたからです。ロピタル自身は、これらの成果に対するクレジットを自らに帰することを望んでいませんでした。一方、自己の業績に対する強い主張と、他の数学者に対する激しい対抗心（嫉妬深さ）で知られていたヨハン・ベルヌーイは、本書に収められた全ての成果が、他ならぬ自分自身の手によるものであると公言しました。しかしながら、歴史は皮肉な結末を用意しました。本書で初めて紹介された、ベルヌーイが発見したとされる不定形の極限に関する定理は、発見者であるとロピタル自身が主張しなかったにも関わらず、今日に至るまで「ロピタルの定理」というロピタルの名が冠された名称で広く知られているのです。

歴史的意義

『曲線を理解するための無限小の解析』は、その内容がベルヌーイに多くを負っているとはいえ、無限小解析という新しい数学的手法を体系的に整理し、初めて教科書として世に問うた功績は極めて大きいものです。本書は多くの数学者に読まれ、微分法の理解と普及に決定的な役割を果たしました。ロピタルの定理の命名を巡るエピソードは、17世紀末から18世紀にかけての数学者たちの複雑な人間関係や、業績の優先権を巡る論争の一端を示すものとして、数学史においてしばしば語られます。

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