Arg max

最大値を与える引数（arg max）

数学において「最大値を与える引数」（英: arguments of the maxima）または「最大点集合」とは、ある関数が最大値を取る点全体の集合を指します。この概念は、最大値を表す「最大値作用素」と対になっており、通常、arg maxまたはargmaxという略語で表記されます。

定義

最大点作用素とは、関数fに対して次のように定義されます。

$$
\operatorname{argmax}_{x \in P} f(x) := \{x \in P \mid \forall y \in P : f(y) \leq f(x)\}
$$

ここで、Pは最大値を取る範囲に関する条件を満たす元です。即ち、pがf(x)の最大値を達成する点全体の集合を示します。この定義によれば、もしfの最大値Mが既知であれば、arg maxは次のように表現することもできます。

$$
\operatorname{argmax}_{x \in P} f(x) = \{x \in P \mid f(x) = M\} = f^{-1}(M)
$$

最小点作用素

同様に、最小値を与える引数についてはarg min（またはargmin）という最小点作用素が定義されます。これは次のように表されます。

$$
\operatorname{argmin}_{x \in P} f(x) := \{x \in P \mid \forall y \in P : f(y) \geq f(x)\}
$$

ここで、arg minはf(x)が最小値を達成する点全体の集合を示しています。

最大点作用素との比較

最大点作用素は、最大値作用素maxと自然に対を成します。maxは関数が返す最大値そのものを示す一方で、arg maxはその最大値を達成する点を示します。最大値は単一の元を持つことが多いですが、最大点集合には複数の元が含まれることもあります。

例えば、関数f(x) = 1 − |x|（-1 ≤ x ≤ 1）の場合、最大値1はx = 0で達成されますので、

$$
\operatorname{argmax}_{-1 \leq x \leq 1}(1 - |x|) = \{0\}
$$

というように示されます。最大点が一つの場合、しばしばその値そのものを返すこともあります。

最大点集合の様々なケース

最大点集合は空であったり、単一の元から成ることも、多数の元を含むこともあります。たとえば、次のような場合です：

1. 複数の点で最大値を取る場合：
$$
\operatorname{argmax}_{x \in [0, 4\pi]} \cos(x) = \{0, 2\pi, 4\pi\}
$$

2. 無限に存在する場合：
$$
\operatorname{argmax}_{x \in \mathbb{R}} \cos(x) = \{0, 2\pi, -2\pi, 4\pi, \ldots\} = \{2n\pi \mid n \in \mathbb{Z}\}
$$

3. 最大値が存在しない場合：
$$
\operatorname{argmax}_{x \in \mathbb{R}} x^3 = \emptyset
$$(x^3はR上非有界）

このように、最大点集合は状況に応じて異なる形態を取ることがあります。特に、連続関数がコンパクトな集合上で定義されている場合、最大値が存在し、arg maxは必ず空ではないことが保証されます。

まとめ

最大値を与える引数は、数学の最適化や関数解析において不可欠な概念であり、様々な文脈で応用されます。この理論や操作法を理解することは、理論的な数学だけでなく、実用的な問題解決にも役立つでしょう。

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