K-頂点連結グラフ

k-頂点連結グラフについて

数学のグラフ理論において、k-頂点連結（k-ちょうてんれんけつ）グラフは、興味深い特性を持つグラフです。このグラフの特性により、グラフは特定の条件下でも連結性を維持します。具体的には、k未満の数の頂点を除去してもグラフが連結である場合、そのグラフはk-頂点連結と呼ばれます。これは、グラフの点連結度がk以上であることを示しています。

k-頂点連結であることの別の定義は、そのような頂点を除いた結果、グラフが非連結になるような頂点の最小部分集合の大きさがkであることです。この定義により、グラフがどれほど安定しているかを評価する手助けになります。

グラフの特徴を別の視点から見ると、k-頂点連結は、任意の2つの頂点がk独立な道、つまり点素パスで結ばれている場合に成り立ちます。この観点からの理解は、メンガーの定理に基づいています。

さらに、完全なグラフに関しては、k-頂点連結の定義が少し異なることに注意が必要です。特に、n-頂点の完全グラフは、頂点を取り除くという基準に従った定義では連結度が無限大となりますが、独立な道の定義に基づくと、その連結度はn−1です。そのため、一部の研究者は特に連結度がnであるような代替的な定義を提案しているのです。

グラフの連結度は、k-頂点連結の最大値を示す重要な指標として機能します。1-頂点連結グラフは「連結」と称され、2-頂点連結グラフは「2重連結」と呼ばれます。また、任意のk-次元凸ポリトープのスケルトンはk-頂点連結グラフを形成します。これにより、複雑な幾何学的構造との関係も明らかになります。

このように、シュタイニッツの定理においては、任意の3-頂点連結平面グラフが凸多面体のスケルトンを形成することが述べられています。

参考文献

• - Balinski, M. L. (1961). "On the graph structure of convex polyhedra in n-space". Pacific Journal of Mathematics 11 (2): 431–434.
• - Diestel, Reinhard (2005). Graph Theory (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag.

グラフの概念は、数学的な対象や性質を深く理解する手助けとなり、k-辺連結グラフや連結度など、さまざまな問題を解決するための基盤を提供します。

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