SIMPLE法

SIMPLE法について

SIMPLE法は、CFD (Computational Fluid Dynamics) において非常に広く使われている数値解法です。これは、ナビエ–ストークス方程式を解くために特化した手法であり、Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations（圧力連結方程式の半陰的解法）の略称です。1970年代初頭に、インペリアル・カレッジ・ロンドンの教授であるBrian Spaldingとその弟子Suhas Patankarによって開発されました。その後、この方法は多数の研究者によって発展し、多様な流れや熱伝導の問題を解決するために利用されてきました。

SIMPLE法に関する情報は、多くのCFD関連の書籍や文献で詳述されています。さらに、この基本的な手法は、1979年にPatankarが改良したSIMPLER（SIMPLE Revised）や、1984年にVan DoormalおよびRaithbyによって開発されたSIMPLEC（SIMPLE Consistent）といった派生アルゴリズムを生み出しました。また、1986年にIssaが提案したPISO（Pressure Implicit with Splitting of Operators）アルゴリズムも、SIMPLE法の改善型として位置付けられています。

SIMPLE法の基本的な構造

SIMPLE法は、射影法の一種です。このアルゴリズムは、反復法を用いて解を更新していくという点が特徴的です。以下は、SIMPLE法の性能を引き出すための基本的な手順です：

1. 境界条件の設定：計算領域の境界において適切な物理条件を設定します。
2. 速度と圧力の勾配計算：流体の速度および圧力の勾配を求め、次の計算に備えます。
3. 中間速度場の算出：離散化された運動方程式を解きます。この結果、中間の速度場が得られます。
4. 質量流速の計算：各フェースにおいて未修正の質量流速を計算します。
5. 圧力補正方程式の解決：圧力補正値を求めるための方程式を解きます。
6. 圧力場の更新：得られた圧力補正値を用いて圧力場を更新します。この更新は、次のように表現されます：

$$p^{k+1} = p^{k} + urf imes p^{'}$$

ここで、`urf`は圧力の不足緩和係数です。
7. 境界での圧力補正の更新：境界での圧力補正値も同時に更新します。
8. 質量流速の修正：次に、フェースでの質量流速を修正します。これも計算式で表すと、以下のようになります：

$$\dot{m}_{f}^{k+1} = \dot{m}_{f}^{} + \dot{m}_{f}^{'}$$
9. セルの速度の修正：最終的に、更新された圧力を用いて、セルの速度を修正します。

$$\vec{v}^{k+1} = \vec{v}^{} - \frac{Vol
abla p^{'}}{\vec{a}_{P}^{v}}$$

ここで、`Vol`はセルの体積、`
abla p^{'} `は圧力補正値の勾配、`\vec{a}_{P}^{v}`は速度方程式を表す離散線形システムの中心係数のベクトルです。
10. 密度の更新：このようにして得られた圧力変化に基づいて密度の更新を行います。

この一連の手順によって、流体の挙動を効率的にシミュレーションすることが可能となります。SIMPLE法は、CFD分野で非常に重要な役割を果たし、数多くの工学問題や科学的研究で活用されています。

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