ナビエ–ストークス方程式

ナビエ–ストークス方程式：流体の運動を解き明かす方程式

ナビエ–ストークス方程式は、流体の運動を記述する、2階の非線形偏微分方程式です。アンリ・ナビエとジョージ・ガブリエル・ストークスによって導き出されたこの方程式は、流体力学において最も重要な方程式の一つであり、「NS方程式」と略されることもあります。ニュートン力学における運動方程式と同様に、流体の運動の基礎をなすものです。

方程式の導出

ナビエ–ストークス方程式は、質量保存則と運動量保存則から導き出されます。連続の方程式を用いることで、流れの速度場vの物質微分が以下のように表されます。

\(\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} = \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + (\boldsymbol{v} \cdot
abla)\boldsymbol{v} = \frac{1}{\rho}
abla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \boldsymbol{g}\)

ここで、ρは密度、σは応力テンソル、gは単位質量あたりの外力です。ニュートン流体を仮定すると、応力テンソルは圧力p、体積粘性率χ、剪断粘性率μ、速度勾配eを用いて以下のように表されます。

\(\boldsymbol{\sigma} = -p\boldsymbol{I} + \chi(
abla \cdot \boldsymbol{v})\boldsymbol{I} + 2\mu\boldsymbol{e}\)

これらの式を組み合わせることで、最終的にナビエ–ストークス方程式が得られます。この方程式は、速度場vと圧力pに関する4つの連立偏微分方程式から成り立っており、その一般解の存在と滑らかさは未解決問題として知られています（ミレニアム懸賞問題の一つ）。

簡単化された方程式

ナビエ–ストークス方程式は非線形かつ複雑なため、一般的には解析解を得ることが困難です。そのため、様々な仮定を用いて方程式を簡略化し、近似解を求めることが多く行われています。

非圧縮性流れ: 速度場の発散がゼロと仮定することで、方程式は簡略化されます。

粘性率一定の流れ: 粘性率μを一定と仮定することで、粘性率の空間変化による項を無視できます。

粘性率一定の非圧縮性流れ: 上記二つの仮定を組み合わせることで、さらに簡単な方程式を得ることができます。

これらの近似を用いた方程式でも解析解が得られるとは限りません。そのため、数値計算による近似解法が必要となるケースがほとんどです。

特殊な流れ

レイノルズ数が小さい流れ（ストークス流れ、クリープ流れ）では、慣性項を無視したストークス方程式が用いられます。逆に粘性のない流れ（オイラー方程式）では、粘性項が消去されます。渦度がゼロの流れ（ポテンシャル流れ）では、速度ポテンシャルを用いた記述が可能となります。

近似手法

複雑な流れを扱う際に、以下の近似手法が用いられます。

ブシネスク近似：温度による密度変化が小さい場合の近似
境界層近似：主流方向を持つ流れの近似

数値シミュレーション

ナビエ–ストークス方程式の一般解は未だに発見されていません。そのため、数値シミュレーション（CFD）が広く用いられています。CFDでは、ナビエ–ストークス方程式と連続の式、必要に応じてエネルギー保存則やマクスウェル方程式などを連立させて数値的に解くことで、流体の挙動を予測します。クーラン数と拡散数の条件を満たすことが重要です。

乱流

乱流は、流体の多くの流れに見られる時間依存のカオス的な振る舞いです。レイノルズ数が一定の閾値を超えると、微小な摂動が非線形項によって増幅され、乱流が発生します。ナビエ–ストークス方程式は乱流の性質を正確に記述すると信じられていますが、乱流の数値シミュレーションは非常に困難です。そのため、レイノルズ平均ナビエ–ストークス方程式（RANS）やLarge eddyシミュレーション（LES）などの乱流モデルが用いられます。

まとめ

ナビエ–ストークス方程式は、流体力学における基礎方程式であり、流体の運動を理解する上で非常に重要な役割を果たしています。しかし、その複雑さゆえに、未だに多くの未解決問題が残されています。本記事では、方程式の基本的な性質から様々な近似解法、そして乱流との関係までを解説しました。今後も、数学と物理学の両面からの研究が続けられ、流体現象の更なる解明が期待されます。

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