ハイブリッドシステム

ハイブリッドシステム入門：連続と離散の融合

ハイブリッドシステムは、連続的な変化と離散的な変化が同時または交互に発生する動的システムです。例えば、機械システムの動き（連続）とスイッチのオンオフ（離散）の組み合わせなどが考えられます。従来の制御理論では扱いにくい、連続と離散の両方の要素を含むシステムを統一的に扱うことができるため、近年注目を集めています。

ハイブリッドシステムのモデル化

ハイブリッドシステムを表現するモデルは複数存在し、それぞれに長所・短所があります。代表的なモデルを以下に示します。

1. 一般的なモデル

最も基本的なモデルでは、連続状態`x(t)`と離散状態`I(t)`を用いてシステムを記述します。`x(t)`は連続的な変数、`I(t)`は離散的なモード（状態）を表します。入力`u(t)`と出力`y(t)`も連続と離散の両方の性質を持つ可能性があります。

システムの挙動は、連続状態の変化を表す微分方程式と、離散状態の遷移ルール（自律的または制御的なスイッチやジャンプ）によって規定されます。ジャンプは連続状態の不連続な変化を意味します。

2. ハイブリッドオートマトン

有限オートマトンの概念を拡張したモデルです。各ノードが離散状態を表し、ノード間の遷移が事象に対応します。遷移条件（ガード）と不変条件（インヴァリアント）を定義することで、連続状態と入力も考慮したモード遷移を表現できます。

3. 区分的アファインシステムモデル

状態空間を複数の領域に分割し、各領域でアファイン関数（線形関数に定数項を加えたもの）を用いてシステムをモデル化します。領域の境界で状態方程式が切り替わります。特に、領域が状態空間の分割となっている場合、各領域をモードとみなすことで一般的なハイブリッドシステムの形式に帰着できます。区分的線形システムモデル（PWLモデル）は、定数項が0の場合です。

4. 線形相補性システムモデル

相補性条件を用いて離散状態を表現するモデルです。相補性条件とは、2つの変数の積が常に0であり、かつ両変数が非負であるという制約です。この条件により、離散的な状態遷移を連続的な枠組みで表現できます。

5. 混合論理動的システムモデル

システムの挙動に関する論理式を不等式制約に変換することで、ハイブリッドシステムを記述します。補助変数`z(t)`と`δ(t)`（離散状態に対応）を用いて、連続状態の変化と離散状態の遷移を同時に表現します。

6. スイッチドシステムモデル

外部からの離散信号（スイッチ信号）によってシステムのダイナミクスが切り替わるシステムを表現します。スイッチ信号`s(t)`に応じて、状態方程式が切り替わります。

その他のモデル

max-plus代数システム、ハイブリッドペトリネット、確率的ハイブリッドシステムなど、様々なモデルが存在します。