非線形システム論

非線形システム論：複雑系の制御理論

非線形システム論は、線形システムとは異なる、複雑な挙動を示すシステムの制御理論です。線形システムが簡単な数式で記述できるのに対し、非線形システムは、その名の通り、非線形の常微分方程式によって記述され、その挙動は直感的ではないことが多いため、より高度な解析手法が必要となります。

非線形システムのモデル表現

非線形システムのモデルは、通常、状態方程式を用いて表現されます。状態方程式は、システムの状態変数 `x`、入力変数 `u`、出力変数 `y` の関係を記述します。一般的な状態方程式は以下のように表されます。

math
\begin{aligned}
\dot{x} &= f(x, u) \\
y &= h(x)
\end{aligned}


ここで、`f(x, u)` はシステムのダイナミクスを表す非線形関数、`h(x)` はシステムの出力を状態変数の関数として表す関数です。

入力 `u` が1次である特殊な場合、

math
\begin{aligned}
\dot{x} &= f(x) + g(x)u \\
y &= h(x)
\end{aligned}


のように表すことができ、これをアフィン系と呼びます。

非線形システムの解析手法

非線形システムの解析には、線形システムとは異なる手法が必要です。重要な概念として、以下のものがあります。

平衡点と平衡多様体

平衡点は、システムが入力を受けなくても状態が変化しない点です。数式では、`f(x, 0) = 0` または `f(x) = 0` を満たす `x` の集合として定義されます。平衡点は1つとは限らず、複数存在する場合もあります。

局所性と大域性

線形システムは、全ての点において原点近傍と相似ですが、非線形システムでは一般的にそうではありません。そのため、ある点の近傍での解析（局所性）と、全空間での解析（大域性）を区別する必要があります。

安定性

非線形システムの安定性は、線形システムよりも複雑で、複数の異なる概念があります。よく用いられる概念にリアプノフ安定性があり、リアプノフ関数を用いて判定できます。線形システムでは等価であった安定性、漸近安定性、指数安定性の概念も、非線形システムでは異なる意味を持つ場合があります。

可到達性と可制御性

可到達性とは、平衡点から任意の状態へ有限時間で遷移できる性質です。可制御性とは、任意の状態から平衡点へ有限時間で遷移できる性質です。

相対次数

相対次数は、出力を繰り返し時間微分して初めて入力 `u` が現れる回数です。アフィン系において、相対次数がシステムの次数 `n` と一致する場合、そのシステムは線形可制御正準形に変換でき、線形システムと同じように扱うことができます。

ゼロダイナミクス

ゼロダイナミクスとは、出力をゼロに保つような入力を与えたときの内部状態の挙動です。ゼロダイナミクスの安定性を調べることで、システム全体の安定性を評価できます。

非線形システムの制御系設計

非線形システムの制御系設計には、以下のような手法があります。

線形化

線形化とは、座標変換やフィードバックを用いて、非線形システムを線形システムのように振る舞わせる手法です。平衡点近傍での線形近似が最も基本的ですが、大域的な線形化も研究されています。

ダイナミクスベースド制御

ダイナミクスベースド制御は、システムの固有の動特性を活かして制御系を設計する手法です。線形化とは異なり、システムの挙動を強引に書き換えるのではなく、スマートな制御を実現します。

線形近似で解決できないシステム

一部の非線形システムは、線形近似では解決できません。代表的な例として、以下があります。

双線形システム

双線形システムは、入力の係数が状態量の1次式であるアフィン系です。原点では入力が作用しなくなるため、原点の安定化問題は線形近似では解決できません。

非ホロノミックシステム

非ホロノミックシステムは、非ホロノミック拘束を受けるシステムです。非ホロノミック拘束とは、拘束式が微分方程式で表される拘束です。例えば、自動車の車輪による拘束は非ホロノミック拘束の例です。

まとめ

非線形システム論は、線形システム論では扱えない複雑なシステムの解析と制御を可能にする重要な理論です。様々な概念、解析手法、制御手法が研究されており、今後も発展が期待される分野です。

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