構造安定

構造安定

構造安定（こうぞうあんてい、英語：structural stability）とは、力学系が外部からのわずかな摂動（微小な変化や影響）を受けても、その解の振る舞いが質的に変化しない性質を指す概念です。

自然界で観測される多くの現象は、ある程度安定して存在しています。このような現象を数理モデル、特に微分方程式や差分方程式といった力学系として記述する際、モデルが現実の安定性を反映するためには、そのダイナミクスもまた安定であるべきだと考えられます。構造安定性は、このような「良いモデル化」の条件の一つとして重要視されてきました。これは、初期値のわずかな違いに対する解の変化だけでなく、モデルを記述する方程式そのものに含まれるパラメータがわずかに変化したり、方程式の形にごく小さな摂動が加わったりした場合に、解の全体的なパターンがどう変わるかに関心があるためです。ただし、力学系が特定の対称性を持つ場合など、状況によっては構造安定性が成り立たないことが、現実の現象を捉える上で重要なこともあります。

構造安定性を直感的に理解するには、解の漸近的な振る舞い、すなわち時間が十分に経過した後の振る舞いを考えると分かりやすいでしょう。例えば、ある力学系の解が周期的な振動を示すとします。もしこの力学系を記述する方程式のパラメータをわずかに変更しても、解が引き続き周期振動であり続けるならば、元の力学系はそのパラメータ値の近傍で構造安定であると言えます。力学変数が張る状態空間において、これは解軌道がある特定のアトラクター（例えば、リミットサイクルと呼ばれる閉じた軌道）に引き寄せられて、その周りを運動している状況に対応します。構造安定性とは、このアトラクターがわずかな摂動によって、その形状が少し歪むだけで、トポロジー（結び目のような質的な形）が保たれる性質を意味します。例えば、リミットサイクルが輪ゴムのようなループであるとすれば、摂動を受けてもこのループが切れたり、一点に縮退したり、ドーナツのようなトーラス状に変化したりせず、単に形状がぐにゃりと変化するだけならば、その系は構造安定であると考えられます。

逆に、力学系のパラメータを連続的に変化させていくと、ある特定のパラメータ値で構造安定性が失われることがあります。このような点では、パラメータの微小な変化に対して解の位相的な挙動が非連続的に大きく変化します。この現象は「分岐」と呼ばれ、力学系の研究において中心的なテーマの一つとなっています。構造安定な領域は、分岐点ではない領域における系の安定性を保証するとも解釈できます。

構造安定性の数学的な定義は、アンドロノフとポントリャーギンによって与えられました。彼らの定義は、「与えられた力学系の集合を考えたときに、ある特定の力学系の十分小さな『近傍』に存在する任意の力学系が、元の力学系と『質的に同じふるまい』をする」というものです。この定義を明確にするためには、「力学系の近傍」と「質的に同じふるまい」という二つの概念を定義する必要があります。

力学系同士の近さを数学的に定義することは、力学系の集合に位相を入れることに相当します。多くの場合、力学系はn次元空間におけるベクトル場として表現され、これは滑らかな写像（Cr級写像）とみなすことができます。力学系間の近さは、これらのベクトル場（写像）同士の近さとして定義されます。具体的には、二つの力学系がCkの意味でε近傍に属するとは、それらを定義するベクトル場の0階からk階までの微分が、ある適切な関数空間上のノルムの意味で互いにε以内にあることを指します。

「質的に同じふるまい」とは、「位相共役（topologically conjugate）である」という数学的な概念で表現されます。二つの力学系が位相共役であるとは、一方の力学系の各軌道を、もう一方の力学系の対応する軌道に写すような、連続でその逆写像も連続な写像（同相写像）が存在することを意味します。すなわち、連続的な変形によって、一方の力学系における解軌道のパターン全体を、他方の力学系の解軌道のパターン全体に完全に写し替えることができる状態です。したがって、構造安定性とは、わずかに異なる力学系同士であっても、その解軌道の全体的なパターンが位相的に等しいことを保証する性質と言えます。

いくつかの具体例を挙げます。線形力学系におけるサドルポイント（鞍点）は、構造安定な不動点の典型例です。このように構造安定性を持つ不動点は、「双曲不動点」と呼ばれることもあります。一方、線形系における中心のように、解が周回軌道を描くような「中立安定」な不動点は、一般に構造安定ではありません。これは、わずかな摂動によって、周回軌道が安定または不安定な渦巻きに容易に質的に変化しうるためです。

もう一度検索