不動点

不動点とは何か？

数学において、写像（ある集合の要素を別の集合の要素へ対応させる規則）の不動点とは、その写像によって自分自身に写される点のことを指します。より簡単に言えば、写像を適用しても値が変化しない点です。

例えば、関数 f(x) = x² - 3x + 4 を考えましょう。この関数に x = 2 を代入すると、f(2) = 2² - 3(2) + 4 = 2 となり、元の値と変わりません。したがって、x = 2 はこの関数の不動点です。

すべての写像が不動点を持つわけではありません。関数 f(x) = x + 1 は、どの実数 x に対しても f(x) ≠ x となるため、不動点を持たない例です。

グラフ上で考えると、不動点は関数 f(x) のグラフと直線 y = x の交点として視覚的に捉えることができます。

不動点の種類

不動点には様々な種類があり、その性質によって分類されます。代表的なものとして、吸引的不動点があります。

吸引的不動点

吸引的不動点とは、不動点 x₀ の近くに値 x をとると、反復関数列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), ... が x₀ に収束するような不動点です。「十分近く」の定義は場合によって異なります。

例えば、自然余弦関数（単位がラジアン）は唯一つの吸引的不動点（ドッティ数、約 0.73908513）を持ちます。任意の実数から始めて、繰り返し cos ボタンを押すと、この値に収束します。

すべての不動点が吸引的であるわけではありません。関数 f(x) = 2x の不動点 x = 0 は吸引的ではありません。0 以外の値は反復によって無限大に発散します。

吸引的不動点は、連続的微分可能で |f'(x₀)| < 1 を満たす場合、保証されます。吸引的不動点は、アトラクターというより広い概念の特別な場合であり、リアプノフ安定であれば安定不動点と呼ばれます。また、リアプノフ安定だが吸引的でない場合は、中立安定不動点と呼ばれます。

不動点の存在定理

数学の様々な分野では、特定の条件下で写像が少なくとも一つの不動点を持つことを保証する定理、不動点の存在定理が存在します。これらの定理は、定性的な結果として非常に重要です。

収束性

数列 (pₙ)₀≤ₙ<∞ が p に収束する場合、収束のオーダーを示す指標として漸近誤差定数 λ があります。

lim (n→∞) |pₙ₊₁ - p| / |pₙ - p|α = λ

この式が成り立つ場合、(pₙ)₀≤ₙ<∞ は p に α のオーダーで、漸近誤差定数 λ で収束すると表現できます。

関数 f(x) の不動点 p の収束性を判定するために、以下の手順が有用です。

1. まず f(p) = p であることを確認します。
2. |f'(p)| を計算します。0 < |f'(p)| ≤ 1 ならば一次収束、1 < |f'(p)| ならば発散します。|f'(p)| = 0 ならば、二次収束の可能性も検討します。
3. |f''(p)| を計算します。|f''(p)| ≠ 0 ならば二次収束、|f''(p)| = 0 ならば二次収束より速い収束を示します。|f''(p)| が存在しない場合は、一次収束より速いが二次収束ではない収束となります。

不動点の応用

不動点は、様々な分野で応用されています。

経済学: ゲーム理論におけるナッシュ均衡は、最適応答対応の不動点です。
計算機科学: コンパイラにおけるコード最適化や、ウェブページのページランク計算など。
* 論理学: クリプキの真理の理論において、真理の自己言及的な定義を扱うために用いられます。

不動点は、平衡や安定性を記述する上で基本的な概念であり、今後も様々な分野で重要な役割を果たしていくでしょう。

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