電束密度

電束密度：電荷の存在を示すベクトル場

[電束]]密度とは、電荷の存在によって生じるベクトル場であり、電気変位とも呼ばれます。国際単位系(SI)では、単位はクーロン毎平方メートル]です。電場は[[電荷に力を及ぼす場として理解されますが、電束密度は電荷分布を反映した、異なる性質の場です。両者は物質の性質を表す構成方程式によって関連付けられます。

真空、つまり誘電分極がない空間では、電束密度と電場強度は比例関係にあり、電気定数によって結び付けられます。そのため、両者の違いは顕在化しません。しかし、誘電分極を示す誘電体中では、電束密度と電場強度の関係は複雑になり、その違いが明確になります。誘電体を、自由空間中に分布する電荷の集まりと見なすことで、電束密度を直接扱う必要性を回避することも可能です。

電束密度の定義：ガウスの法則

電束密度は、ガウスの法則によって定義されます。ある領域Vとその境界∂Vを考え、領域V内部の電荷をQVとすると、電束密度Dは次の式を満たすベクトル場として定義されます。

∫∂V D・dS = λQV

ここで、λは有理化係数で、有理系では1、非有理系では4πとなります。発散定理を用いることで、この式は微分形式で表すことができます。領域Vを無限に小さくすると、次の関係が得られます。

∇・D = λρ

ここで、ρは電荷密度です。この式は、ガウスの法則を微分形式で表したものです。

電束密度と電場強度の関係：構成方程式

電束密度Dと電場強度Eの関係は、構成方程式によって表されます。真空では、両者は電気定数ε0を用いて次のように表せます。

D = ε0E

誘電体中では、誘電分極Pの影響を受け、より複雑な関係となります。誘電体が線形性を満たす場合、誘電率εを用いて次のように表せます。

D = εE = ε0(1 + χ)E

ここで、χは電気感受率です。線形性を満たさない場合は、積分を用いたより複雑な表現が必要となります。

誘電体中の電束密度

ガウスの法則の微分形式に、真空における電束密度と電場強度の関係式を代入すると、次の式が得られます。

∇・E = ρ0/ε0

ここで、ρ0は真空中の電荷密度です。一方、誘電体中では、誘電分極Pを考慮する必要があり、次の式が成り立ちます。

∇・E = (ρ0 - ∇・P)/ε0

この式から、誘電分極によって生じる分極[[電荷]]密度∇・Pが、真電荷密度ρ0と同様に電場を発生させることが分かります。誘電体も原子核や電子などの荷電粒子から構成されていますが、マクロなスケールでは、正負の電荷が相殺され、真電荷密度は通常ゼロとみなせます。分極[[電荷]]密度は、ミクロなスケールでの電荷分布の偏りを反映したものです。

まとめ

電束密度は、電荷分布を反映した重要なベクトル場です。真空と誘電体中での挙動の違いを理解することで、電磁気現象をより深く理解することができます。特に誘電体中では、誘電分極による分極[[電荷]]密度の効果を考慮することが重要です。この概念は、静電場だけでなく、動電場や電磁波の理解にも不可欠です。 本稿では、電磁気学の基礎的な概念に基づき、電束密度の性質を解説しました。より詳細な理解には、専門書を参照することをお勧めします。

参考文献

砂川重信『理論電磁気学』（第3版）紀伊国屋書店、1999年
J.D.Jackson 著、西田稔 訳『電磁気学（上）』（原書第3版）吉岡書店、2002年

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