発散定理

発散定理、別名ガウスの定理は、ベクトル解析における重要な定理の一つです。これは、ベクトル場の発散と、そのベクトル場によって定義されるある領域の表面を通る流れの面積積分を結び付けるものです。 直感的には、ある領域内部でベクトル場の湧き出しの総量はその領域の表面を通る流れの量に等しいことを主張しています。

この定理は、1762年にジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって最初に発見されましたが、その後1813年にカール・フリードリヒ・ガウス、1825年にジョージ・グリーン、そして1831年にミハイル・オストログラツキーによってそれぞれ独立に再発見されました。特にオストログラツキーは、この定理の最初の厳密な証明を与えた人物として知られています。

定理の内容を数式で表現しましょう。三次元ユークリッド空間R³において、滑らかなベクトル場 F = (F₁, F₂, F₃) を考えます。このベクトル場 F の発散 div F は、以下のように定義されます。

div F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

ここで、∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z はそれぞれx, y, z に関する偏微分を表します。∇（ナブラ）記号を用いると、div F = ∇・F と簡潔に表すことができます。これは、∇とFの内積に相当します。

さて、R³内の滑らかな境界∂Vを持つ有界な領域Vを考えます。この領域V上で定義された滑らかなベクトル場Fに対して、発散定理は次の等式を主張します。

∭ᵥ div F dV = ∬₌v F・n dS

ここで、左辺は領域V全体での発散の体積積分、右辺は領域Vの境界∂Vを通るベクトル場の流れの面積積分を表しています。n は∂Vの外向き単位法ベクトルです。この式は、領域V内部でのベクトル場の湧き出しの総量が、その表面から流出する流れの量に等しいことを意味しています。

この定理の重要な点は、体積積分と面積積分を結び付けていることです。複雑な体積積分をより計算しやすい面積積分に書き換えることができるため、物理現象の解析などに広く応用されています。例えば、電磁気学においては、ガウスの法則を記述する際にこの定理が重要な役割を果たします。ガウスの法則は、電荷からの電場の発散が電荷密度に比例することを示す法則ですが、これを発散定理を用いて積分形と微分形で表現することができます。

発散定理は、より一般的なストークスの定理の特別な場合と捉えることもできます。ストークスの定理は、微分形式を用いて、多様体上の積分をその境界上の積分と関連付ける定理です。発散定理は、ストークスの定理において、特定の2次微分形式と3次元ユークリッド空間の場合を考えたものと等価になります。

発散定理は、流体力学、熱力学、電磁気学など、様々な分野で重要な役割を果たしており、物理現象の理解や数理モデルの構築に不可欠な定理です。その応用範囲の広さから、ベクトル解析における基本定理の一つとして位置づけられています。

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