Ω無矛盾

ω無矛盾とその意義

数学基礎論の世界において、ω無矛盾（オメガむむじゅん、英: ω-consistent）という概念があります。この ω無矛盾性は、公理系が特定の性質を持つことを示すものであり、特に不完全性定理に関してクルト・ゲーデルによって導入されました。無矛盾性という性質は公理系が持つ基本的な条件ですが、ω無矛盾性はそれよりも厳格な条件を示しています。

公理系の無矛盾性

一般的に、ある公理系が「無矛盾である」とは、同時にある命題 P とその否定 ¬P を証明することができないことを指します。したがって、P が存在しても、P と ¬P が共に証明可能である場合、その公理系は矛盾していると判断されます。これに対し、ω無矛盾性の場合、自然数に関連する命題について考慮されます。

ω無矛盾性の定義

ω無矛盾である公理系では次のことが成り立ちます。自然数 n に基づく命題 Q(n) が存在し、Q(0), Q(1), Q(2), … がすべて証明可能であるにもかかわらず、実は「∃n : ¬Q(n)」も証明可能である場合、その公理系はω無矛盾ではありません。要するに、ω無矛盾性は無矛盾性に比べてさらに強い条件であるため、ある公理系がω無矛盾であれば無矛盾でもあると考えられます。

ゲーデルの不完全性定理

20世紀初頭には、数学の分野で完全性と無矛盾性を追求する試みがあった中、ゲーデルは1931年に不完全性定理を発表しました。この定理は、公理系が無矛盾であるなら、その公理系は必ず不完全であることを示すものであり、その後の数学の発展に重大な影響を与えました。ゲーデルは当初、無矛盾性から不完全性が導かれることを証明しようとしましたが、その時点では達成できず、ω無矛盾から不完全性が導かれるという、より弱い命題を示しました。

その後、アメリカの論理学者ジョン・バークリー・ロッサーが「無矛盾ならば不完全である」ことを証明するに至り、ゲーデルの主張をより強固なものとしました。

ω無矛盾性と無矛盾性の関係

ω無矛盾性と無矛盾性の関係は重要であり、一般的に無矛盾性はω無矛盾性の条件を満たすことになりますが、逆は必ずしも成り立ちません。言い換えると、無矛盾で出発し、ω矛盾を示すことができる理論が存在する場合もあります。たとえば、無限個の命題 Q(n) がすべて証明可能であり、それとは対照的に「∀n : Q(n)」が証明できない場合、ω矛盾性を持つことになります。

ω無矛盾性の例

具体的な例として、ペアノ算術（PA）を挙げることができます。PBはω無矛盾であり、そこから ¬Con(PA) が証明できないため、この公理系は無矛盾であることがわかります。これに基づいて、条件を満たす理論 T を考えると、そこで PA の標準モデルにおいて偽であるΣ1論理式 ¬Con(PA) が証明可能になります。これは、T がω矛盾であることを示す一例です。このような事情から、数学基礎論におけるω無矛盾性の理解は、理論の発展、特に不完全性定理との関連において非常に重要です。

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