公理

公理とは何か

公理とは、数学や論理学において、他の命題を導き出すための前提として導入される、最も基本的な仮定のことです。これは、議論の出発点となるものであり、それ自体が証明される必要はありません。公理を基盤として、演繹的な推論によって定理が導かれます。複数の公理をまとめたものを「公理系」と呼びます。

公理は、真実であることが明らかな「自明の理」である必要はありません。むしろ、ある理論体系を構築するための基礎として、論理的に定義された言明であれば良いのです。たとえば、ユークリッド幾何学では、特定の図形に関する公理が定められていますが、これは現実の世界をそのまま反映しているわけではありません。

公理の例

以下に、公理の具体的な例をいくつか示します。

論理学の公理
命題Pが真ならば、「PまたはQ」も真である。
ユークリッド幾何学の公理
2点を通る直線を引くことができる。
平行でない2つの異なる直線は、ただ1点で交わる。
算術の公理
a=b ならば、a+c = b+cである。
任意の自然数には、次の自然数が存在する（ペアノの公理）。
集合論の公理
空[[集合]]が存在する。
集合Sと条件Pに対し、Sの要素のうち条件Pを満たす要素だけからなる集合を作ることができる。

これらの公理は、それぞれの分野で議論を進めるための土台となります。

公理から導かれる定理

公理を前提として演繹的に証明された命題は「定理」と呼ばれます。以下に定理の例を挙げます。

ユークリッド幾何学の定理
2本の平行線と、それらに交わる直線が作る錯角は等しい。
三角形の内角の和は180度である。
* 円周角の定理

これらの定理は、公理から出発し、論理的なステップを踏むことで導き出されます。

公理の歴史

ユークリッド原論

公理の概念を明確に記述した現存する最古の文書は、紀元前300年頃に書かれたユークリッドの『原論』です。『原論』では、5つの公準（公理）が示されています。

1. 点と点を直線で結ぶことができる。
2. 線分は両側に延長して直線にできる。
3. 点を中心とし、任意の半径の円を描ける。
4. 全ての直角は等しい。
5. 1つの直線が2つの直線に交わり、同じ側の内角の和が2つの直角より小さいならば、この2つの直線は無限に延長すると、2つの直角より小さい角のある側で交わる（平行線公準）。

平行線問題

これらの公準のうち、特に5番目の「平行線公準」は他の公準ほど自明ではなく、他の公理から導き出せるのではないかという疑問が生じました。この疑問は「平行線問題」として知られ、多くの数学者が証明を試みましたが、成功しませんでした。

非ユークリッド幾何学

19世紀になり、ガウス、ボヤイ、ロバチェフスキーらによって、平行線公準を否定する幾何学（非ユークリッド幾何学）が発見されました。これは、最初の4つの公理が成立し、平行線公準が成立しないような体系です。非ユークリッド幾何学の発見は、数学の基礎に対する考え方を大きく変え、様々な数学体系の可能性を示唆しました。

形式的な公理

20世紀初頭には、ヒルベルトらの数学の抽象化・形式化運動の中で、公理に基づいて理論を展開する立場が強調されました。公理系には、矛盾がないことや、成立する命題がすべて証明可能であることが求められました。

ヒルベルト・プログラム

ヒルベルトは、有限のデータで定義され、このような妥当性を満たす公理系をもとに数学を展開することを目指しました（ヒルベルト・プログラム）。しかし、ゲーデルの不完全性[[定理]]によって、自然数論を展開できるような公理系では、その無矛盾性をその公理系自身では証明できないことが示されました。

公理の形式性

公理に基づく数学の定式化は、数学を形式的な記号の操作とみなす考え方を導きました。この立場では、公理は任意の論理式であり、そこから得られる定理は単なる記号操作の結果となります。ユークリッド幾何学における点や直線、平面は、特定の性質を満たす記号にすぎず、現実世界の物体を表すものではないと考えられます。

ビールジョッキ思想

公理を単なる記号操作とみなす考え方は、「ビールジョッキ思想」と呼ばれることがあります。これは、公理における言葉の選択が任意であることを強調するもので、例えば「2直線が交わる」という命題を「2つの机は1つのビールジョッキで交わる」と置き換えても、論理的には同じ体系を保てると主張するものです。

公理の妥当性

直観的な妥当性

公理系は記号で書かれた論理式の集まりであり、現実世界の観察に基づかない体系も可能ですが、多くの数学者は現実世界の観察に基づく公理系を研究しています。

直観主義論理

ただし、どのような公理系が「直観的に妥当」であるかについては、数学者の間で必ずしも合意が得られているわけではありません。例えば、直観主義論理では、排中律は認められません。排中律は、ある命題Aに対し、A自身かAの否定のどちらかが成立するというもので、通常の数学では前提とされていますが、直観主義論理では、命題の真偽を実際に証明できる手続きがなければならないと考えます。

選択公理

集合論の選択公理は、無限を取り扱う公理であり、その妥当性が問題となることがあります。選択公理は、「無限個の（空でない）集合の列から、それぞれ1つずつ要素を選ぶことができる」という内容です。選択公理は、矛盾を導かないことが知られていますが、一方で、直観に反するような定理も導きます。そのため、選択公理を認めるべきかどうかについては、数学基礎論の研究において議論が続いています。

まとめ

公理は、数学の基礎となる重要な概念であり、その形式的な側面や直観的な側面を理解することが、数学をより深く理解する鍵となります。公理は、単なる前提ではなく、数学の体系を支える土台であり、その選択や解釈によって、様々な数学体系が生まれる可能性を示しています。

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