アリコット数列

アリコット数列について

アリコット数列とは、自然数から始まる数列で、各項は前の項の約数の和からその数自体を引いた値で表されます。この数列は数学の重要なトピックであり、特に数理科学や数論の分野での研究が進められています。具体的には、アリコット数列は次のように定義されます：

• - 最初の項を自然数 k とすると、

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s0 = k

• - 次の項は約数関数 σ1 を用いて、

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sn = σ1(sn−1) − sn−1と表されます。

具体例

例えば、自然数の10からアリコット数列を始めると、以下のように計算されます：

1. s0 = 10
2. sn = σ1(10) − 10 = (5 + 2 + 1) − 10 = 8
3. sn = σ1(8) − 8 = (4 + 2 + 1) − 8 = 7
4. sn = σ1(7) − 7 = (1) − 7 = 1
5. sn = σ1(1) − 1 = (0) − 1 = 0

この場合、10から始まるアリコット数列は 10, 8, 7, 1, 0 という形になります。

アリコット数列における終端の種類

アリコット数列は、様々な数によって異なるパターンで終了します。一般に、数が素数、1、または0になると、数列は終了します。特に、以下のように終了する場合が多いです：

1. 完全数： 完全数はその数が持つ正の約数の和がその数自身に等しい数で、これに基づくアリコット数列は周期1で繰り返されます。たとえば 6 の場合、数列は 6, 6, 6, ... となります。

2. 友愛数： 友愛数は2つの異なる数が互いの約数の和である場合の数で、これに基づく数列は周期2で繰り返されます。例として220は次のように繰り返されます： 220, 284, 220, 284。

3. 社交数： これは更に複雑で、3項以上で繰り返される数です。1264460を例に取ると、数列は1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460,... となります。

また、アリコット数列には完全数、友愛数、社交数に該当しないが最終的に周期的な数も存在し、これを「aspiring numbers」と呼ぶことがあります。たとえば95の数列は95, 25, 6, 6, 6, ...という形で周期1に収束します。

カタランの予想と未解決の問題

数学者ウジェーヌ・シャルル・カタランは、すべてのアリコット数列が完全数、友愛数、社交数のいずれかに収束すると予想しました。もしこの予想が外れる場合、非周期的で延々と続くアリコット数列が存在することになります。現時点でも、多くの自然数のアリコット数列が最後まで決まっていないため、この仮説の反例が含まれている可能性があるのです。このような数の中で有名なもの「レーマーの五数」として276, 552, 564, 660, 966が知られています。

2015年4月の時点で、10万未満の自然数の中に898個、100万未満では9190個のアリコット数列が未解決であることが確認されています。これらの数に関する解明は、数学者たちによる活発な研究の対象となっています。

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