友愛数

友愛数とは

友愛数（ゆうあいすう、英: amicable numbers）は、互いに異なる2つの自然数が特定の条件を満たすときに呼ばれます。その条件とは、自分自身を除いた約数の和が互いに等しくなることです。別名、親和数とも称され、最小の友愛数の例としては(220, 284)が挙げられます。

友愛数の具体例

具体的に見てみると、220の自分自身を除いた約数は 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 で、その合計は284になります。一方、284の自分自身を除いた約数は 1, 2, 4, 71, 142 で、その合計は220となります。このように、220と284は互いの約数の和が一致するため、友愛数の組となるのです。

友愛数の概念は、古代ギリシャのピタゴラス学派の時代から知られており、その記録はダンブリクスによって残されています。現在知られている友愛数の組は、全て偶数同士または奇数同士の組であることが特徴です。

友愛数の列挙

友愛数のペアを小さい順に挙げると、以下のような組が存在します：

• - (220, 284)
• - (1184, 1210)
• - (2620, 2924)
• - (5020, 5564)
• - (6232, 6368)
• - その他多数

次に知られた友愛数の組は(17296, 18416)であり、これはフェルマーによって再発見されました。その後もオイラーによって多くの友愛数が発見され、60以上の組が求められています。

定義と法則

友愛数の定義は、異なる自然数nとmに対して、約数和関数σ1に基づいています。具体的には、友愛数の条件は以下の通りです。

σ1(n) = σ1(m) = n + m

古代の数学者、サービト・イブン＝クッラによって提案された法則により、友愛数の生成が可能であることが示されました。彼の法則は以下の式で表されます：

• - p = 3 × 2^(n−1) − 1,
• - q = 3 × 2^n − 1,
• - r = 9 × 22^(n−1) − 1

ここでnは2以上の整数で、p, q, rは素数である必要があります。
オイラーの法則により、サービト・イブン＝クッラの法則が一般化され、より多くの友愛数の対を見つけることが可能になりました。

未解決の問題

友愛数についてはまだ解明されていない点が多くあります。例えば、友愛数の組は無数に存在するかどうか、偶数と奇数からなる友愛数の組は存在するかなどの問いがなされています。また、友愛数の条件を拡張して社交数や多重友愛数という概念を考えることも可能です。これらは、一般化された約数の和を満たす整数の組として定義されています。

社交数

社交数は、複数の自然数が一連の関係を満たす際に用いられる名称です。具体的にはs(N1)がN2に等しい、s(N2)がN3に等しい… s(Nm)がN1に等しいという条件を満たします。友愛数は、2つの数の関係に特化した社交数の一形態とも言えるでしょう。

多重友愛数

多重友愛数は、複数の自然数の組が特定の約数和を満たす時、その関係性を表します。例えば、3重友愛数は1913年に発見された組み合わせもあり、さらに多くの例が提唱されています。これにより、友愛数の学問は日々発展しているのです。

結論

友愛数の世界は興味深く、数学の奥深い部分に触れることができる領域です。今後も新たな発見が期待されており、数学愛好家ならずとも、一度はその魅力に触れてみる価値があるでしょう。

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