アリティ

アリティの概念

アリティ（英: arity）とは、関数や演算がいくつの引数を取るかを示す指標であり、代数学や論理学、計算機科学などの分野で幅広く利用されています。この概念は、特に数学やプログラミングにおいて重要な役割を果たしており、さまざまな形で表現されることがあります。

数学におけるアリティ

数学の文脈では、関数の定義される引数の数はそのアリティによって表されます。例えば、関数 f が定義域をある集合 S の n 項の直積で表される場合、f のアリティは n になります。また、n-項関係（n-ary relation）についても同様に、定義域が集合の n 項の直積に関連づけられており、この場合も n がアリティと呼ばれます。

この概念は、代数構造を一般化し統一的に扱う際に特に有用です。例えば、群においては、演算が異なるアリティを持つことにより、様々な性質を持つ演算の集合として表現されます。群は、2項演算や単項演算を用いることで、特定の等式を満たす構造として理解されます。同様に、環も複数の演算を持つ集合として表現され、これにより数学の理論をより深く探求することが可能になります。

計算機科学におけるアリティ

计算机科学において、アリティはプログラミングの文脈でも重要です。ここでは、関数や手続きが受け取る引数の数をアリティとして定義します。可変個の引数を扱うプログラミング言語においては、アリティの概念が特に役立ちます。また、関数が返す値が複数の要素からなる場合、その要素の数をコアリティ（co-arity）とも呼ぶことがあります。

データベースの領域においても、アリティは重要な概念です。この場合、関係データベースにおける関係の属性の数をアリティとして理解します。関係のアリティを知ることで、データベースの設計やクエリの最適化に役立てることができます。

アリティの語源と分類

アリティという言葉の語源はラテン語に由来し、接尾辞 -ary を用いて無項（nullary）、単項（unary）、二項（binary）、三項（ternary）などの形で表現されます。この接尾辞に名詞の語尾 -ity を付けることで、アリティが形成されました。ここでの各引数の分類は以下の通りです：

• - 無項：引数のない関数。
• - 単項：引数を1つ取る関数。
• - 二項：引数を2つ取る関数。
• - 三項：引数を3つ取る関数。
• - 多項：2つ以上の引数を取る関数。
• - n-項：有限の n 個の引数を持つ関数。
• - 可変長引数：引数の個数が指定されない場合。

このように、アリティは数学やプログラミング、さらにはデータベースにおいても中心的な役割を担っています。特に、異なるアリティを持つ関数や演算を統一的に扱うことで、さまざまな理論や実用的な技術が発展してきました。

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