アルキメデスの原理

アルキメデスの原理

アルキメデスの原理とは、「流体（液体や気体）中の物体は、その物体が押しのけている流体の重さと同じ大きさで上向きの浮力を受ける」という物理法則です。この原理は、古代ギリシャの科学者アルキメデスによって発見されました。

原理の詳細

物体が流体中で受ける浮力は、物体が押しのけた流体の重さに等しく、その向きは上向きです。これは、物体を水中に沈めた際に、物体周囲の水が物体との境界面に垂直な力を及ぼすことで説明できます。この力を総和したものが浮力であり、その大きさは、物体が沈むことによって押しのけた水の重さと等しくなります。

例えば、物体の一部を水に沈めて静止させた場合を考えてみましょう。このとき、物体周囲の水は、物体との境界面の各部に対し垂直な力を及ぼします。この静水圧を方向まで考慮して境界面について総和したものが浮力となります。アルキメデスの原理は、この浮力が、物体が沈むことによって水を押しのけている領域における水の質量が及ぼす重力と同じ大きさで、向きが上向き（重力の向きと正反対）であると述べています。

数式表現

アルキメデスの原理は、以下の数式で表現できます。

math
F = -ρVg


ここで、

F: 浮力 [N]
ρ: 流体の密度 [kg/m³]
V: 物体の水没している部分の体積 [m³]
g: 重力加速度 [m/s²]

この式からわかるように、浮力の大きさは、水中にある物体の密度には関係しません。物体の平均密度が流体の密度よりも小さい場合、物体はその一部を流体より上に突出させた位置で静止し、重力と浮力がつりあいます。

math
ρVg = mg


ここで、

* m: 物体の質量 [kg]

この式より、流体の密度 ρ が既知であれば、水没している部分の体積 V を測定することで物体の質量 m を算出できます。

氷が解ける場合

水に氷が浮いていて、その氷が解けていく場合を考えてみましょう。解けた氷の質量を Δm とすると、水の体積は ΔV水 = Δm/ρ水 だけ増加します。一方、氷の水没している部分の体積の減少量を ΔV氷 とすると、アルキメデスの原理から、

math
ρ_水ΔV_氷 g = Δmg


となるため、氷の水没体積は ΔV氷 = Δm/ρ水 だけ減少します。したがって、水の体積増加分 ΔV水 と氷の水没体積減少分 ΔV氷 が等しくなり、氷が解けても水位は変化しません。

アルキメデスの逸話

アルキメデスの原理の発見には、有名な逸話が残っています。シラクサのヒエロン2世が、金細工師に純金の王冠を作らせたところ、金細工師が金に混ぜ物をして一部を盗んだという噂が広まりました。そこで、ヒエロンはアルキメデスに、王冠を壊さずに混ぜ物がしてあるかどうか調べるように命じました。

アルキメデスは困り果てましたが、ある日風呂に入ったところ、水が湯船からあふれるのを見て、アルキメデスの原理のヒントを発見したと言われています。この時、浴場から飛び出したアルキメデスは「ヘウレーカ（分かったぞ）」と叫びながら裸で走っていったと伝えられています。

アルキメデスは、王冠と同じ質量の金塊を用意し、これと王冠を天秤棒に吊るしてバランスが取れることを確認した後に、天秤棒に吊るしたまま両方とも水を張った容器に入れました。もし金塊の体積と王冠の体積が同じであれば、両方を水中に沈めても天秤棒のバランスは保たれるはずです。しかし、実際には水中でのバランスが崩れたため、王冠と金塊の密度が違うことが判明し、金細工師の不正が明らかになりました。

応用

アルキメデスの原理は、浮力の計算だけでなく、物体の密度測定や、船の設計など、様々な分野に応用されています。また、熱気球が空に浮かぶ原理も、アルキメデスの原理によって説明できます。熱気球は、加熱することで密度を低くした空気が、密度が高いままの周囲大気に対して示す浮力を利用しています。

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