アルティン・ウェダーバーンの定理

アルティン・ウェダーバーンの定理

概要

アルティン・ウェダーバーンの定理は、抽象代数学の分野において、半単純環や半単純代数を分類するための基本的な結果です。この定理は、特に数学の理論や形式体系に大きな影響を与えています。特に、アルティン半単純環 (
R) は、いくつかの特定の行列環の直積として表現できることを明らかにしています。これにより、半単純環や半単純代数の研究が加速し、さまざまな数学的構造についての理解が深まりました。

定理の主張

アルティン・ウェダーバーンの定理によれば、任意のアルティン半単純環 R は、有限な個の ni次の行列環 Mni(Di) の直積に同型です。ここで、ni は正の整数、Di は可除環を示します。興味深いことに、これらの行列環の構造は添字 i の置換を除いて一意に決まります。また、任意の単純な左または右アルティン環は、可除環 D 上の n 次行列環と同型となり、n と D の値も独特であることが分かります。

この定理の直接的な結果として、すべての有限次元の単純環（または単純代数）は、行列環として表現可能であることが示されます。この重要性は、J. H. M. Wedderburnが1908年に発表した結果に由来し、その後、E. Artinが1927年にアルティン環に対して一般化したことによります。

可除環と有限次元単純代数

また、R が可除環 E 上の有限次元単純代数であったとき、D が必ずしも E に含まれる必要はないことに留意が必要です。たとえば、複素数体上の行列環は、実数体上の有限次元単純代数の一例です。これは、アルティン・ウェダーバーンの定理により、可除環上の単純環の分類が可除環を取り扱ったより広範な問題に帰着することを示しています。

さらに、D の中心が体 K であることから、R も K-代数であり、アルティン・ウェダーバーンの定理はその結果、 K 上の中心的単純代数の分類問題と関連づけられます。これによって、可除環を含む環の性質を研究する手段としての重要性が強調されます。

例

実数体 R と複素数体 C、四元数体 H について考えてみましょう。R 上のすべての有限次元単純代数は、R、C、またはH 上の行列環として表されることが分かります。また、R 上のすべての中心的単純代数は、R またはH の行列環に還元されます。この結果は、フロベニウスの定理により確認されています。

一方、C 上のすべての有限次元単純代数もまた C 上の行列環でなければならないため、C 上の中心的単純代数も同様に C 上の行列環となります。さらに、有限体上のすべての有限次元中心的単純代数は、その体に対して行列環であることも重要です。

このように、アルティン・ウェダーバーンの定理は、可換な半単純環が体の有限個の直積で構成されることを示すことに繋がるなど、代数学における幅広い応用を持っており、数学の基本的な理論の一部として深い位置づけを得ています。

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