アルティン加群

アルティン加群の概念

定義と特性

抽象代数学において、アルティン加群（Artinian module）とは、部分加群が降鎖条件を満たす特性を持つ加群です。この概念は、アルティン環と密接に関連しており、アルティン環が自身の上でアルティン的であれば、その加群もまたアルティン的であると定義されます。この性質はエミール・アルティンにちなんで名前が付けられています。

選択公理のもとでは、降鎖条件は極小条件と同様の意味を持つため、これを代わりに使ってアルティン加群を定義することも可能です。アルティン加群はネーター加群と同じように、遺伝的性質を持っています。具体的には、もし加群 $M$ がアルティン的であれば、その任意の部分加群や剰余加群もアルティン的です。この逆も成り立ちます。

さらに、$M$ が R-加群であり、その部分加群 $N$ がアルティン的で、$M/N$ もアルティン的であれば、$M$ もアルティン的であるという結果も得られます。これにより、アルティン環上の有限生成加群はアルティン的であることが保証されます。ただし、環 $R$ がアルティン的でない場合や、$M$ が有限生成でない場合には例外があります。

アルティン環と加群の関係

環 $R$ が右からの積を用いて自然に右加群として解釈される場合、$R$ が右 R-加群としてアルティン的であれば、それを右アルティン環と呼びます。同様に左アルティン環の定義もあり、非可換環においては両側の区別が必要です。特に、片側の加群がアルティン的でも、もう一方がアルティン的でない場合があるため、注意が必要です。

一般的に、加群 $M$ は左または右の R-加群として与えられるため、左右の言葉は通常必要ありません。しかし、$M$ が左右両方向のR-加群の構造を持っている場合、その区分を明確にすることが求められます。$ ext{左 R-加群}$ として $M$ がアルティン的である場合、用語を使って $M$ を左アルティン的または右アルティン的に呼ぶことが可能です。

両側加群の構造を有する加群も珍しいことではありません。たとえば、環 $R$ 自身は左かつ右 R-加群となることが一般的です。また、アーベル群 $M$ は別の環 $S$ によって左 R 右 S 両側加群に変換可能です。さらに、任意の右加群は自動的に整数環 $Z$ 上の左加群であり、$Z$-R 両側加群でもあります。たとえば、有理数体 $Q$ は自然に $Z$-$Q$ 両側加群として解釈できますが、$Q$ は左 $Z$-加群としてはアルティン的ではありませんが、右 $Q$-加群としてはアルティン的です。

アルティン両側加群とその特徴

アルティンの条件は両側加群についても定義できます。即ち、アルティン両側加群は、部分両側加群が降鎖条件を満たすものを指します。$R-S$ 両側加群 $M$ の部分両側加群は明らかに左 R-加群であるため、$M$ が左 R 加群としてアルティン的であれば、自動的にアルティン両側加群となります。しかし、両側アルティン加群であっても、左または右アルティン加群でない事例もあります。

例えば、単純環が左アルティン的であり、右アルティン的であることが同値であることは知られています。また、ある単純環 $R$ が右アルティン的でなければ、左アルティン環でもないことが容易に理解できます。$R$ を自然に R-R-両側加群と考え、その部分両側加群は $R$ のイデアルとなります。$R$ が単純であるため、そのイデアルは有限であり、$R$ と零イデアルの2つのみです。そのため、$R$ は両側加群としての性質を持ちますが、左または右 R-加群としてはアルティン的ではない状況が生じます。

ネーター条件との関係

環において、アルティン加群であってネーター加群でないものが存在することも知られています。例えば、$rac{Q}{Z}$ の p-プライマリ成分は、p-準巡回群 $rac{Z[1/p]}{Z}$ と同型です。この場合、真増大列が無限に続く一方で、すべての真の降鎖列は完結します。

具体的には、整数の列 $ ext{n}_1, ext{n}_2, ext{n}_3, ...$ に対して真の減少列を形成するため、降鎖条件が満たされ、$Z(p^{ ext{∞}})$ はアルティン的となります。また、可換環の下では、任意の巡回アルティン加群はネーター加群でもありますが、非可換の場合は無限の長さになることがあります。

このように、アルティン加群は抽象代数学において重要な特徴を持ち、さまざまな関連性が存在することが分かります。

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