アルティン環

アルティン環（Artinian Ring）についての詳細

アルティン環とは、降鎖条件に基づいた特定の有限性を持つ環の一種です。その名称は、数学者エミール・アルティンに由来しています。アルティン環は、左イデアルに関する降鎖が有限の長さで停止するという性質を持ち、任意の非空の左イデアルの族が包含関係における極小元を持つことが求められます。

定義

アルティン環の定義において、環 R に対して以下の2つの条件が同等であるとされます。

1. 降鎖条件: R の左イデアルからなる任意の降鎖は有限の長さで停止します。これは、もし I1 ⊇ I2 ⊇ ... のようなイデアルの系列が存在する場合、その系列は必ず有限の時点 N で停止します。
2. 極小条件: R の左イデアルからなる空でない任意の族は、包含関係における極小元を持ちます。つまり、非空のイデアルの集合 L があるとき、L の中から他のすべてのイデアル Iλ を包含しないイデアル I を見つけることができます。

この2つの条件を満たす環 R は「左アルティン環」と呼ばれます。また、右イデアルおよび右アルティン環の概念も存在し、左右両方の条件を満たす環は「両側アルティン環」として分類されます。可換環の場合は、アルティン環と単純に呼ばれ、可換アルティン環という表現が使われることもあります。

アルティン環の例

いくつかの具体例を挙げて、アルティン環の特徴を明示します。まず、すべての有限環はアルティン環です。また、体上の有限次元の多元環もアルティン環になります。特に体自体もアルティン環です。さらに、R がアルティン環であるなら、すべての行列環 Mn(R) もまたアルティン環であることが知られています。

一方、アルティン環でない例としては、整数環が挙げられます。また、可除環でない域も左（または右）アルティン環ではありません。

性質

アルティン環の重要な性質の一つに、ネーター環であることが挙げられます。この結果によって、アルティン環は組成列を持つことが保証されます。また、逆に言えば、冪零なジャコブソン根基を持ち、剰余環が半単純であるようなネーター環もアルティン環と見なされます。

さらに、左（または右）アルティン環について、あるイデアル I に対して R/I および I が左（または右）アルティン的であることは同値です。この性質は、アルティン環の研究において非常に重要です。加えて、左アルティン環が域であれば、それは可除環であるという特性も持っています。

イデアルと加群

アルティン環の極大イデアルは有限個存在し、そのジャコブソン根基は最大の冪零イデアルとなります。また、アルティン環の素イデアルは極大イデアルであるため、特に可換アルティン環が整域であれば、これを可換体と見なすことができます。

加群については、アルティン環上の既約加群の同型類は有限の数に限られます。この性質が、アルティン環の加群理論における重要な研究対象となっています。

参考文献

• - Anderson, Frank W. & Fuller, Kent R. (1992). Rings and categories of modules. Graduate Texts in Mathematics.
• - Auslander, Maurice & Buchsbaum, David (2014) [1974]. Groups, Rings, Modules.
• - Lam, T. Y. (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics.

アルティン環について理解を深めるためには、これらの文献を参照し、さらに多くの性質や応用を探求することが大切です。

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