アンダーソン–ダーリング検定

アンダーソン–ダーリング検定

アンダーソン–ダーリング検定（Anderson–Darling test）は、統計的仮説検定のひとつであり、観測データが特定の理論的分布に従っているかどうかを評価する手法です。この検定は、特にデータの尾部の特性に敏感であり、金融のリスク評価やモデル検証に広く用いられています。

検定の目的と背景

この検定の主な目的は、与えられた帰無仮説に基づく分布とサンプルデータの適合度を確認することです。アンダーソン–ダーリング検定は、同様の目的を遂行する他の方法、特にコルモゴロフ–スミルノフ検定（KS検定）と比較して、テール部分における適合度にさらに焦点を当てることが特徴です。これにより、アンダーソン–ダーリング検定は特に金融分野において、テールリスクを重視した分析に適しています。

検定統計量の計算

検定においては、まずサンプルデータを昇順に並べ、これを { ext{X}}_{1} < ext{X}_{2} < ext{...} < ext{X}_{n} と表します。次に、帰無仮説における分布を F とし、検定統計量 A の計算を行ないます。具体的には、以下の式に従います：

$$
A^{2} = -n - S,
$$

ここで S は、データと理論的分布の適合性を評価するための補正項で、次のように定義されています：

$$
S = rac{1}{n} imes ext{sum}igg((2j - 1)igg[ ext{ln}(F(X_j)) + ext{ln}(1 - F(X_{n+1-j}))igg]igg)
$$

この式により、サンプルデータが正規分布などの指定された分布において、どの程度適合しているかが測定されます。

正規性の検定

正規分布を前提とした仮定のもと、アンダーソン–ダーリング検定では4つのケースが考慮されます。それぞれのケースにより、検定の棄却域が異なるため、十分に注意が必要です。特に、平均や分散が既知または未知の場合で異なるアプローチが求められます。特に、平均と分散がともに未知な場合には、修正した統計量を用いることがあります。これは、次のように表されます：

$$
A^{2} = A^{2}igg(1 + rac{4}{n} - rac{25}{n^{2}}igg)
$$

検定結果の解釈

求めた検定統計量を基準値と比較します。基準値はサンプルサイズが5以上の場合、数表を使用して設定されます。次のような条件を満たす場合、帰無仮説は棄却され、サンプルデータの分布が帰無仮説の分布と異なる可能性が示唆されます：

$$
A^{2} > CV ext{または} A^{2} > CV
$$

この結果に基づき、サンプル分布が指定された理論分布と比べてどのように異なるかを評価できます。特に、正規分布以外の検定に対しては、異なる基準値が適用されるため、注意が必要です。

参考文献と関連検定

この検定に関連する他の手法には、コルモゴロフ–スミルノフ検定やリリフォース検定、シャピロ–ウィルク検定、ジャック–ベラ検定などがあります。これらの手法も分布の適合性を評価するために使用され、各々に特徴があります。

アンダーソン–ダーリング検定は、特に金融などの高度なリスク分析において、その重要性を増してきています。

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