ジャック–ベラ検定

ジャック＝ベラ検定について

ジャック＝ベラ検定（Jarque–Bera test）は、標本データが正規分布に従っているかを評価するための統計的手法です。この検定は、データの特性である尖度（Kurtosis）と歪度（Skewness）を利用しています。検定名は、統計学者のCarlos JarqueとAnil K. Beraに由来しています。

検定の概要

この検定では、検定統計量をJBとして定義し、以下の数式を用います：

\[ JB = \frac{n}{6}\left[S^2 + \frac{1}{4}(K - 3)^2\right] \]

ここで、nは標本のサイズ、Sは標本の歪度、Kは標本の尖度を示します。歪度（S）と尖度（K）はそれぞれ次のように計算されます：

• - 歪度（S）:

\[ S = \frac{\hat{\mu_3}}{\hat{\sigma^3}} = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^3}{\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^2\right]^{3/2}} \]

• - 尖度（K）:

\[ K = \frac{\hat{\mu_4}}{\hat{\sigma^4}} = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^4}{\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^2\right]^{2}} \]

ここで、\( \hat{\mu_3} \)と\( \hat{\mu_4} \)は三次および四次の中心モーメントの推定値、\( \bar{x} \)はサンプル平均、\( \hat{\sigma^2} \)は分散を表します。

データが正規分布から得られる場合、JB統計量は漸近的に自由度2のカイ二乗分布に従います。これにより、標本データが正規分布に由来するかどうかを検定できます。帰無仮説は、歪度が0、すなわち正常な分布であることと、過剰尖度が0であることが結合されていることを意味します。逆に、歪度や尖度が期待値から外れた場合、JBの値は大きくなります。

小標本での注意

小さな標本サイズではカイ二乗近似が過剰に敏感であり、帰無仮説が正しい場合でも検定により棄却されることがあります。特にp値が小さい場合は、分布の偏りが影響を及ぼし、第一種誤り率（α）が増加することが報告されています。この問題を緩和するために、適切な標本サイズを使用することが推奨されます。

歴史的背景

1975年、BowmanとShentonはJB統計量がカイ二乗分布に漸近することに言及しましたが、その成立には大きな標本サイズが必要であると強調しました。その後、1979年頃にAnil BeraとCarlos Jarqueは、ラグランジュの未定乗数法を用いて回帰残差の正規性を検定する手法を提案し、ジャック＝ベラ検定が最適であることを示しました。1980年に発表された論文では、堅牢な正規性の検定について述べられ、その後、1987年のInternational Statistical Reviewでは、より詳細な事例が取り上げられました。

ソフトウェアの利用

ジャック＝ベラ検定を実施できるソフトウェアはいくつか存在します。例えば、ALGLIBやR（tseriesパッケージ内のjarque.bera.test関数、momentsパッケージ内のjarque.test関数）、MATLAB（jbtest関数）、gretl、IGOR Proなどが利用可能です。

関連項目

他にも、正規性の検定に用いられる検定手法には、コルモゴロフ-スミルノフ検定、リリフォース検定、シャピロ-ウィルク検定、アンダーソン-ダーリング検定などがあります。これらの方法も、ジャック＝ベラ検定と同様にデータの正規性を確認するために使われます。

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