アーベル-ルフィニの定理

アーベル–ルフィニの定理

アーベル–ルフィニの定理は、「5次以上の一般代数方程式には、四則演算と冪根を組み合わせた解の公式が存在しない」という、代数学における重要な定理です。

定理の内容

この定理は、単に「5次以上の代数方程式は解けない」と言っているわけではありません。ここで重要なのは、「代数的に解く」という概念です。

「代数的に解く」とは、方程式の係数から出発し、四則演算（足し算、引き算、掛け算、割り算）と冪根（べきこん、累乗根のこと）を求める操作を有限回繰り返すことで、方程式の根（解）を表現できることを指します。つまり、係数から計算式を組み立てて解を求めることができるかどうか、ということです。

例えば、2次方程式であれば、解の公式として有名な「二次方程式の解の公式」が存在します。これは、係数から四則演算と平方根を使って解を表現できるため、2次方程式は代数的に解けると言えます。

しかし、アーベル–ルフィニの定理は、5次以上の一般の代数方程式においては、そのような解の公式が存在しないことを示しています。つまり、係数から四則演算と冪根を有限回用いた計算式では、解を表現できないということです。

歴史的背景

5次以上の代数方程式が解けないという問題は、17世紀頃から数学者たちの間で認識されていました。代数学の基本定理により、n次方程式は複素数の範囲でn個の解を持つことは分かっていましたが、それらを具体的にどのように表現するかが課題でした。

ラグランジュやヴァンデルモンドらは、置換群を用いた研究から、4次以下の代数方程式が代数的に解ける理由を明らかにしました。しかし、彼らの手法を5次方程式に適用しようとすると、より高次の方程式を解く必要が生じ、行き詰まってしまいました。

その後、ルフィニが1799年に5次方程式の解の公式が存在しないことを証明したと発表しましたが、証明に不備があり、当時は広く認められませんでした。その後、アーベルが1824年に、ルフィニとは独立に同様の結果を証明し、ようやく定理として確立しました。

アーベルとルフィニの貢献

この定理の名前は、ニールス・アーベルとパオロ・ルフィニという2人の数学者の名前に由来します。

ルフィニは、1799年に5次方程式の代数的解法の不存在を主張する論文を発表しましたが、その証明には不備がありました。しかし、ルフィニの研究は、その後のアーベルの研究に大きな影響を与えました。

アーベルは、ルフィニの業績を知らずに、1824年に5次方程式の代数的解法の不存在を厳密に証明しました。アーベルの証明は、ルフィニの証明の不備を解消し、より洗練されたものでした。

そのため、現在では、この定理はアーベル–ルフィニの定理と呼ばれ、2人の数学者の貢献が称えられています。

定理の意義

アーベル–ルフィニの定理は、代数学における重要な転換点となりました。この定理は、単に「5次以上の代数方程式は解けない」というだけでなく、「解けるとはどういうことか」という問いを数学者に突きつけました。

この定理をきっかけに、エヴァリスト・ガロアによってガロア理論が創始され、代数方程式の可解性に関するより深い理解が得られるようになりました。ガロア理論は、方程式の解の構造と、その解を入れ替える操作（置換）との関係を明らかにする理論であり、現代代数学の基礎となっています。

アーベル–ルフィニの定理は、代数学の歴史において、解の公式を求めるという方向から、解の構造を理解するという方向への転換を促した、非常に重要な定理であると言えるでしょう。

補足

アーベル–ルフィニの定理は、あくまで「一般の」5次以上の代数方程式に解の公式が存在しないことを示しています。特定の条件を満たす5次以上の代数方程式であれば、代数的に解ける場合もあります。

例えば、xn = 1という形の方程式は、円分方程式と呼ばれ、代数的に解けることが知られています。

また、5次以上の代数方程式であっても、四則演算と冪根以外の関数（例えば、三角関数）を用いることで解を表現できる場合があります。しかし、これは「代数的に解く」とは言いません。

アーベル–ルフィニの定理は、代数学の奥深さを示すとともに、数学的な探求の面白さを教えてくれる定理であると言えるでしょう。

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