イェンセンの公式

イェンセンの公式について

複素解析の分野で広く知られているイェンセンの公式は、関数の零点の個数とその関数の特性の関連性を明らかにします。この公式は、1899年にJohan Jensenによって提唱され、円上の解析関数の平均値と、その関数の内部に存在する零点の数との間に深い関係を示しています。特に、整関数や有理型関数の研究において、重要な役割を果たします。

主張内容

公式の内容を具体的に見ていくと、次のように表現されます。原点を中心として半径 r の円板 D 内に解析関数 f が存在し、その零点を a1, a2, ..., an とした場合に、f(0)が0でないという条件の下で、次の関係式が成立します。

$$
ext{log} |f(0)| = ext{sum}_{k=1}^{n} ext{log} \left(\frac{|a_k|}{r}\right) + \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \text{log}|f(re^{i\theta})| \, d\theta.
$$

この公式は、円板 D 内の関数 f の零点のモジュライと、境界上の log |f(z)| の平均値との関係を説明します。特に、f が D 内で零点を持たない場合、イェンセンの公式は以下のように簡約化されます。

$$
ext{log} |f(0)| = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \text{log}|f(re^{i\theta})| \, d\theta.
$$

この式は、調和関数 log |f(z)| の平均的性質を示しています。

同値な主張

また、イェンセンの公式は、別の形式でも表されます。以下のように、平均値から log |f(0)| を引いた値は、半径 t の円板内の f の零点の数 n(t) と関連付けられます。

$$
\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \text{log}|f(re^{i\theta})| \, d\theta - \text{log}|f(0)| = \int_{0}^{r} \frac{n(t)}{t} \, dt.
$$

ここで、n(t) は半径 t の円板内にある f の零点の個数を表します。イェンセンの公式はさらに、D 上の有理型関数に一般化することが可能です。すなわち、次のような形において、g(z) および h(z) が共に D 内で解析関数である場合、特定の条件を満たすときに公式が成立します。

应用

この公式は、円内の解析関数 f の零点の個数を評価する場合にも利用できます。たとえば、f が中心 z0 で半径 R の円板内で解析的であり、また |f| がその外周上で M によって制約されているとき、半径 r < R の同じ点 z0 を中心とする円内での f の零点の個数は、次の式で満たされます。

$$
\frac{1}{\text{log}(R/r)}\text{log}\frac{M}{|f(z_0)|}.
$$
この関係により、特定の条件にしたがって零点の個数を評価できます。

ポワソン・イェンセンの公式

イェンセンの公式は、より一般的なポワソン・イェンセンの公式からも導出できます。Rolf Nevanlinna によって導入されたこの公式では、f が単位円板内で解析的な関数であり、そこでの零点が内部に存在する場合に成立します。具体的には、任意の点 z0 に対する以下の関係が示されます。

$$
\text{log}|f(z_0)| = \sum_{k=1}^{n} \text{log}\left|\frac{z_0 - a_k}{1 - \bar{a}_k z_0}\right| + \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} P_{r_0}(\varphi_0 - \theta) \text{log}|f(e^{i\theta})| \, d\theta.
$$

ここで、ポワソン核 P は、単位円板上で定義される関数です。もし関数 f が単位円板内で零点を持たない場合、公式は簡略化され、漸近的な平均値に依存する形になります。

結論

イェンセンの公式は、複素関数の特性やその零点の分布を理解する上で非常に重要な理論を提供しており、数学のさまざまな分野においてその応用が期待されます。この公式は整関数や有理型関数の解析において特に重要であり、ネヴァンリンナ理論における出発点ともなっています。

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