整関数

整関数：複素解析における無限次多項式

複素解析において、整関数（entire function）とは、複素数平面全体で正則な関数を指します。これは、複素数平面上の任意の点で微分可能であることを意味します。整関数の概念は、多項式関数の自然な拡張であり、ある意味で「無限次数の多項式」と捉えることができます。

整関数の例

代表的な整関数には、以下のものがあります。

多項式関数: `z^n` の形をした関数とその線形結合 (n は非負整数)。
指数関数: `e^z`
三角関数: `sin z`, `cos z`
双曲線関数: `sinh z`, `cosh z`

これらの関数は、複素数平面全体で定義され、微分可能であるため、整関数です。さらに、これらの関数の和、積、合成によって作られる関数もまた、整関数になります。

整関数の基本理論

整関数 `f(z)` は、任意の点 `z₀` の周りでテイラー級数展開可能です。このテイラー級数の収束半径は無限大であり、級数は複素平面全体で収束します。


f(z) = Σ_(n=0)^∞ a_n (z - z₀)^n


ここで、`a_n` はテイラー係数です。整関数の重要な性質として、その導関数もまた整関数であることが挙げられます。

コーシーの積分公式と不等式

コーシーの積分公式は、整関数の値をその周囲の積分で表す強力なツールです。


f(z) = (1/(2πi)) ∫_γ f(s)/(s - z) ds


また、コーシーの不等式は、テイラー係数の大きさの上限を与える重要な不等式です。


≤ M(R)/R^n


ここで、`M(R)` は中心 `z₀`、半径 `R` の円盤上での `f(z)` の最大絶対値です。

リウヴィルの定理とピカールの小定理

リウヴィルの定理

リウヴィルの定理は、整関数の重要な性質を示す定理です。有界な整関数は定数関数に限る、というものです。この定理は、コーシーの不等式から直接導出できます。

ピカールの小定理

ピカールの小定理は、リウヴィルの定理の強力な拡張です。定数でない整関数は、高々1つの値を除く全ての複素数値をとります。この定理は、整関数論における多くの研究の中心テーマとなっています。

整関数の増大度

整関数の増大度（order of growth）は、関数の成長の速さを表す指標です。関数 `f(z)` の増大度 ρ は、次のように定義されます。


ρ = lim sup_(r→∞) (log log M(r)) / log r


ここで、`M(r)` は原点を中心とする半径 `r` の円周上での `f(z)` の最大絶対値です。増大度が有限であれば、整関数は有限増大度を持ちます。無限であれば無限増大度を持ちます。

型

整関数の型(type) σ は、増大度 ρ が有限のときに定義され、次式で表されます。


σ = lim sup_(r→∞) (log M(r))/r^ρ

増大度とテイラー係数の関係

整関数の増大度とテイラー係数の間には密接な関係があります。増大度が小さいほど、テイラー係数は速く減衰します。

整関数の零点

整関数の零点の分布は、その関数の挙動を理解する上で非常に重要です。有限増大度を持つ整関数の零点は、ヴァイヤシュトラスの因数分解定理を用いて調べることができます。

整関数の種数

整関数の種数(genus)は、その関数の零点の分布と増大度を関連付ける指標です。種数は、整関数の複雑さを表す指標の一つです。

整関数の漸近値

整関数の漸近値とは、絶対値が無限大となる際に、関数が近づく値です。

整関数論の応用

整関数論は、複素解析における多くの分野で応用されています。例えば、代数学の基本定理の証明、微分方程式の解法、リーマンゼータ関数の研究などです。

まとめ

整関数は、複素解析における重要な対象であり、その研究は多岐に渡ります。本記事では、整関数の基本的な性質から、増大度、零点、種数といった高度な概念までを概観しました。整関数論は、数学の様々な分野に影響を与え続けています。

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